Se f(x)=\sqrt[3]{10-x^{3}}, encontre f \circ f e identifique seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{10 - x^{3}}
e pede para encontrarmos a composição f\circ f e o domínio desta composição. Vamos usar a definição de composição de funções e a propriedade de que, para números reais, \bigl(\sqrt[3]{u}\bigr)^{3}=u.

Passo 2

Para montar f\circ f, substituímos x por f(x) na definição de f. Assim,
(f\circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = \sqrt[3]{\,10 - \bigl(f(x)\bigr)^{3}\,}.
Mas por definição f(x)=\sqrt[3]{10 - x^{3}}, logo
\bigl(f(x)\bigr)^{3} =\bigl(\sqrt[3]{10 - x^{3}}\bigr)^{3} =10 - x^{3}.

Passo 3

Substituindo \bigl(f(x)\bigr)^{3}=10 - x^{3} em (f\circ f)(x), vem
(f\circ f)(x) = \sqrt[3]{\,10 - (10 - x^{3})\,} = \sqrt[3]{\,x^{3}\,} = x,
onde usamos que a raiz cúbica é a inversa do cubo no conjunto dos reais.

Passo 4

O domínio de f é todo o conjunto dos reais porque dentro de \sqrt[3]{\cdot} não há restrição de sinal. Para a composição, o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\text{ está no domínio de }f\text{ e }f(x)\text{ também está no domínio de }f\} =\mathbb{R}.áíéáí

Resposta

f\circ f(x)=x,
domínio: \mathbb{R}.

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