Resolva o PVI usando transformada de Laplace e a função degrau unitário.
l y^prime prime+4 y=g(t) ; y(0)=0 ; y^prime(0)=0 sendo g(t)=c 0 ; 0 <= t= 3 pi (Valor =2,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a transformada de Laplace e a função degrau unitário. A gente tem a equação $ y’’ + 4y = g(t) $ com condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. A função $ g(t) $ é definida por partes: ela é 0 de 0 a $ \pi $, igual a 1 de $ \pi $ a $ 3\pi $, e volta a ser 0 depois de $ 3\pi $. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais com funções degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ g(t) $ usando a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside. A função $ g(t) $ pode ser expressa como:
g(t)
Aqui, $ u(t - a) $ é o degrau que “liga” a função a partir de $ t = a $. Isso facilita na hora de aplicar a transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica para:
y(0) = 0
E também sabemos que:
y'(0) = 0

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação inteira:
s^2 Y(s) + 4 Y(s) = Lg(t)
Factorizando $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 5

Vamos calcular $ \mathcal{L}{g(t)} $ usando a expressão que encontramos para $ g(t) $:
Lg(t)

Passo 6

Agora, substituímos $ \mathcal{L}{g(t)} $ na equação:
Lg(t)
Resolvendo para $ Y(s) $:
Y(s) (s^2 + 4) = e^-pi s - e^-3pi ss

Passo 7

Agora precisamos fazer a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Vamos quebrar a fração em duas partes:
y(t)
Usando a tabela de transformadas de Laplace, sabemos que:
Y(s) = e^-pi ss (s^2 + 4) - e^-3pi ss (s^2 + 4)

Passo 8

Aplicando a transformada inversa às duas partes, considerando os deslocamentos no tempo devido aos expoentes:
y(t) = (1 - cos(2(t - pi))4) u(t - pi) - (1 - cos(2(t - 3pi))4) u(t - 3pi)

Resposta

A solução da equação é
y(t) = 1 - cos(2(t - pi))4 , u(t - pi) - 1 - cos(2(t - 3pi))4 , u(t - 3pi)

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