Resolva o PVI usando transformada de Laplace e a função degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a transformada de Laplace e a função degrau unitário. A gente tem a equação $ y’’ + 4y = g(t) $ com condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $. A função $ g(t) $ é definida por partes: ela é 0 de 0 a $ \pi $, igual a 1 de $ \pi $ a $ 3\pi $, e volta a ser 0 depois de $ 3\pi $. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais com funções degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ g(t) $ usando a função degrau unitário, também conhecida como função de Heaviside. A função $ g(t) $ pode ser expressa como:
Aqui, $ u(t - a) $ é o degrau que “liga” a função a partir de $ t = a $. Isso facilita na hora de aplicar a transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Como $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, isso simplifica para:
E também sabemos que:
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na equação inteira:
Factorizando $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos calcular $ \mathcal{L}{g(t)} $ usando a expressão que encontramos para $ g(t) $:
Passo 6
Agora, substituímos $ \mathcal{L}{g(t)} $ na equação:
Resolvendo para $ Y(s) $:
Passo 7
Agora precisamos fazer a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Vamos quebrar a fração em duas partes:
Usando a tabela de transformadas de Laplace, sabemos que:
Passo 8
Aplicando a transformada inversa às duas partes, considerando os deslocamentos no tempo devido aos expoentes:
Resposta
A solução da equação é