Dada a
.
Aplique o teste da derivada de primeira na função dada.
Aplique o teste da derivada de primeira na função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para aplicar o teste da derivada de primeira na função dada, que é:
Conteúdo da matéria: Teste da derivada de primeira é uma ferramenta na cálculo diferencial que ajuda a identificar se pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
O que vamos precisar:
- Calcular a derivada da função
. - Encontrar os pontos críticos resolvendo
. - Analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico para determinar se é um máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
.
A derivada de
em relação a
é dada por:
Calculando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de constante
é .
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
.
Esse é um equação quadrática. Podemos resolvê-la fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos para saber se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Dividimos a reta dos números em três intervalos:
Escolhemos valores teste em cada intervalo e verificamos o sinal de
:
-
Para
: Vamos escolher . (positivo) -
Para
: Vamos escolher . (negativo) -
Para
: Vamos escolher . (positivo)
Passo 5
Com base nos sinais da derivada:
-
No ponto
: - Antes de 1,
(função crescente). - Depois de 1,
(função decrescente).
Conclusão:é um máximo local. - Antes de 1,
-
No ponto
: - Antes de 3,
(função decrescente). - Depois de 3,
(função crescente).
Conclusão:é um mínimo local. - Antes de 3,
Resposta
Aplicando o teste da derivada de primeira, a função
tem:
- Um máximo local em
. - Um mínimo local em
.