Dada a f(x)=x^33-2 x^2+3 x+1.
Aplique o teste da derivada de primeira na função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para aplicar o teste da derivada de primeira na função dada, que é:
f(x) = x^33 - 2x^2 + 3x + 1
Conteúdo da matéria: Teste da derivada de primeira é uma ferramenta na cálculo diferencial que ajuda a identificar se pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a derivada da função .
  2. Encontrar os pontos críticos resolvendo .
  3. Analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico para determinar se é um máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx( x^33 - 2x^2 + 3x + 1 ) .
A derivada de f'(x) = x^2 - 4x + 3 em relação a é dada por:
Calculando termo a termo:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de constante é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo x^2 - 4x + 3 = 0 .
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0
Esse é um equação quadrática. Podemos resolvê-la fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
x = 1 e x = 3
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos para saber se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Dividimos a reta dos números em três intervalos:
  1. f'(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3
  2. f'(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
  3. f'(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3
Escolhemos valores teste em cada intervalo e verificamos o sinal de :
  • Para : Vamos escolher .
    (positivo)
  • Para : Vamos escolher .
    (negativo)
  • Para : Vamos escolher .
    (positivo)

Passo 5

Com base nos sinais da derivada:
  • No ponto :
    • Antes de 1, (função crescente).
    • Depois de 1, (função decrescente).
    Conclusão: é um máximo local.
  • No ponto :
    • Antes de 3, (função decrescente).
    • Depois de 3, (função crescente).
    Conclusão: é um mínimo local.

Resposta

Aplicando o teste da derivada de primeira, a função tem:
  • Um máximo local em .
  • Um mínimo local em .

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