Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(a) 1, 12, 13, 14, cdots
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Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(b) 12, 14, 18, 116, cdots

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas sequências: (a) 1,tfrac12,tfrac13,tfrac14,ldots e (b) tfrac12,tfrac14,tfrac18,tfrac116,ldots. O objetivo é encontrar o termo geral de cada uma e depois classificar cada sequência quanto à limitação e monotonia, usando conceitos de reconhecimento de padrões em sequências e comparação de termos.

Passo 2

Para a sequência (a), observamos que cada termo é o inverso do índice: substituindo n=1,2,3,4,ldots em 1/n obtemos 1,tfrac12,tfrac13,tfrac14,ldots. Logo, o termo geral é an = tfrac1n.

Passo 3

Para classificar (a), comparamos termos consecutivos: an+1 = tfrac1n+1 < tfrac1n = an para todo n, então é estritamente decrescente. Além disso, como todos os termos satisfazem 0 < an <= 1, a sequência é limitada, com limite inferior 0 e superior 1.

Passo 4

Na sequência (b), os termos formam potências de tfrac12: para n=1,2,3,ldots temos (tfrac12)^n = tfrac12,tfrac14,tfrac18,ldots. Portanto, o termo geral é bn = l(tfrac12r)^n.

Passo 5

Para classificar (b), notamos que bn+1 = l(tfrac12r)^n+1 = tfrac12,bn < bn, então a sequência é estritamente decrescente. Como 0 < bn <= tfrac12, ela também é limitada, com limite inferior 0 e superior tfrac12.

Resposta

Para (a): an = tfrac1n. Sequência estritamente decrescente e limitada ( 0 < an <= 1). Para (b): bn = l(tfrac12r)^n. Sequência estritamente decrescente e limitada ( 0 < bn <= tfrac12).

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