Dada a
.
Aplique o teste da derivada de segunda ou teste da concavidade na função dada.
Aplique o teste da derivada de segunda ou teste da concavidade na função dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos aplicar o teste da derivada de segunda ou o teste da concavidade. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente relacionado à análise da concavidade de funções e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A primeira derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a inclinação da reta tangente é zero ou não existe.
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que é a derivada da primeira derivada
. A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, podemos aplicar o teste da concavidade. Esse teste nos ajuda a determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão.
Vamos encontrar onde a segunda derivada é zero ou não existe:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada antes e depois de
:
-
Para
: Escolha: Como, a função é côncava para baixo nesse intervalo. -
Para
: Escolha: Como, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 6
A mudança na concavidade ocorre em
. Isso indica que
é um ponto de inflexão, onde a função muda de côncava para baixo para côncava para cima.
Resposta
Aplicando o teste da concavidade na função
, concluímos que a função apresenta um ponto de inflexão em
, mudando sua concavidade de para baixo para para cima nesse ponto.