Dada a f(x)=x^33-2 x^2+3 x+1.
Aplique o teste da derivada de segunda ou teste da concavidade na função dada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos aplicar o teste da derivada de segunda ou o teste da concavidade. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente relacionado à análise da concavidade de funções e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de f(x) = x^33 - 2x^2 + 3x + 1 . A primeira derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a inclinação da reta tangente é zero ou não existe.
A função dada é:
f'(x) = ddx(x^33) - ddx(2x^2) + ddx(3x) + ddx(1)
Calculando a primeira derivada:
f'(x) = x^2 - 4x + 3

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f''(x) = ddx(x^2 - 4x + 3) , que é a derivada da primeira derivada f''(x) = 2x - 4 . A segunda derivada nos dá informações sobre a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, podemos aplicar o teste da concavidade. Esse teste nos ajuda a determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo e identificar possíveis pontos de inflexão.
Vamos encontrar onde a segunda derivada é zero ou não existe:
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada antes e depois de f''(x) = 2x - 4 :
  • Para f''(1) = 2(1) - 4 = -2 :
    f''(x) = 2x - 4
    Escolha f''(3) = 2(3) - 4 = 2 :
    Como , a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    Como , a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 6

A mudança na concavidade ocorre em . Isso indica que é um ponto de inflexão, onde a função muda de côncava para baixo para côncava para cima.

Resposta

Aplicando o teste da concavidade na função , concluímos que a função apresenta um ponto de inflexão em , mudando sua concavidade de para baixo para para cima nesse ponto.

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