Seja C a parte da interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z-2 x=y, de (1,0,2) até (0,1,1). O valor da integral de linha integralC x d x+(z-2 x) d y+y(x^2+y^2) d z é:
Escolha uma opção:
  • 12
  • 12-pi2
  • -pi2
  • 12+pi2
  • 1-pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre calcular uma integral de linha ao longo de uma curva . A curva é onde o cilindro intersecta o plano , indo de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção entre o cilindro e o plano . Podemos parametrizar essa curva usando um parâmetro, digamos , que varia de 0 a para cobrir de a .

Passo 3

Vamos expressar x = cos t e y = sin t em termos de z = y + 2x = sin t + 2cos t usando coordenadas paramétricas do círculo. Podemos definir:
r(t) = (cos t, sin t, sin t + 2cos t)
Agora, usando a equação do plano , podemos resolver para :
Então, nossa parametrização completa é:
onde varia de 0 a .

Passo 4

Agora, precisamos calcular os diferenciais dx = -sin t , dt , dy = cos t , dt e dz = (cos t - 2sin t) , dt . Derivando em relação a , temos:

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral de linha:
integralC x , dx + (z - 2x) , dy + y(x^2+y^2) , dz
Substituindo integral0^pi2 cos t (-sin t , dt) + (sin t + 2cos t - 2cos t) (cos t , dt) + sin t (1) (cos t - 2sin t) , dt , integral0^pi2 -cos t sin t , dt + sin t cos t , dt + sin t (cos t - 2sin t) , dt , , , e em termos de :
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
-cos t sin t + sin t cos t + sin t cos t - 2sin^2 t = sin t cos t - 2sin^2 t
Então, a integral fica:
integral0^pi2 (sin t cos t - 2sin^2 t) , dt

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. [ 12sin^2 t - ( t - sin(2t)2 ) ]0^pi2
Então, a integral total é:

Passo 8

Agora, vamos avaliar nos limites:
Para 12sin^2(pi2) - ( pi2 - sin(pi)2 ) = 12(1) - pi2 = 12 - pi2 :
12sin^2(0) - ( 0 - sin(0)2 ) = 0 - 0 = 0
Para ( 12 - pi2 ) - 0 = 12 - pi2 :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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