Seja
a parte da interseção do cilindro
com o plano
, de
até
. O valor da integral de linha
é:
Escolha uma opção:
-
-
-
-
-
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre calcular uma integral de linha ao longo de uma curva
. A curva
é onde o cilindro
intersecta o plano
, indo de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção entre o cilindro
e o plano
. Podemos parametrizar essa curva usando um parâmetro, digamos
, que varia de 0 a
para cobrir de
a
.
Passo 3
Vamos expressar
e
em termos de
usando coordenadas paramétricas do círculo. Podemos definir:
Agora, usando a equação do plano
, podemos resolver para
:
Então, nossa parametrização completa é:
onde
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular os diferenciais
,
e
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 5
Vamos substituir tudo na integral de linha:
Substituindo
,
,
,
,
e
em termos de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral total é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral de linha é
.