Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(e) ( ) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(f) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;

Passo 1

O enunciado pede pra testar duas afirmações sobre sequências reais: (e) “A soma de duas sequências divergentes é divergente” e (f) “Toda sequência divergente é não monótona”. Vamos usar definições de divergência (sequência que não converge a um número finito) e de monotonicidade (crescente ou decrescente) e procurar provas ou contraexemplos.

Passo 2

Para (e) a afirmação é falsa. Basta dar um contraexemplo simples: defina an = n e bn = -n. Cada uma diverge ( anto +infty, bnto -infty), mas

Passo 3

an + bn = n + (-n) = 0 para todo n, que converge (é constante). Portanto, duas divergentes podem somar uma convergente.

Passo 4

Para (f) a afirmação também é falsa. Um exemplo clássico é a sequência cn = n. Ela diverge porque cnto +infty, mas é monotonicamente crescente. Logo existem sequências divergentes que são monotônicas.

Resposta

(e) F; (f) F

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