Dada a
.
Calcule os pontos de máximo e de mínimo da função dada.
Calcule os pontos de máximo e de mínimo da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. O que a gente precisa encontrar aqui são os pontos onde a função atinge um valor máximo ou mínimo, ou seja, os pontos de máximo e mínimo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar esses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e é fundamental para identificar os pontos onde a inclinação é zero, que são candidatos a máximos ou mínimos. Então, vamos derivar cada termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Assim, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
onde a derivada é zero, precisamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada,
, que nos indica a concavidade da função.
Vamos calcular a segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, temos um ponto de máximo.
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, temos um ponto de mínimo.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.