Dada a f(x)=x^33-2 x^2+3 x+1.
Calcule os pontos de máximo e de mínimo da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que a gente precisa encontrar aqui são os pontos onde a função atinge um valor máximo ou mínimo, ou seja, os pontos de máximo e mínimo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar esses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx( x^33 ) - ddx(2x^2) + ddx(3x) + ddx(1) . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e é fundamental para identificar os pontos onde a inclinação é zero, que são candidatos a máximos ou mínimos. Então, vamos derivar cada termo:
f'(x) = x^2 - 4x + 3
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x^2 - 4x + 3 = 0 onde (x - 1)(x - 3) = 0 :
x = 1 e x = 3
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Assim, temos duas soluções:

Passo 4

Com os valores de f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4 onde a derivada é zero, precisamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, usamos a segunda derivada, , que nos indica a concavidade da função.
Vamos calcular a segunda derivada:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
  1. Para f''(1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 :
f''(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, temos um ponto de máximo.
  1. Para :
Como , isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, temos um ponto de mínimo.

Resposta

A função tem um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

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