Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(i) 1, 32, 2, 52, 3, cdots
23
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) ( ) Toda sequência convergente é limitada;

Passo 1

O enunciado (i) nos pede para expressar a sequência {1, 3/2, 2, 5/2, 3, …} por seu termo geral, depois classificá-la quanto à limitação (boundedness) e monotonicidade (monotonicity). Em seguida, avaliar se a afirmação “toda sequência convergente é limitada” é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Observando os termos, vemos uma progressão aritmética de primeiro termo a₁ = 1 e razão r = 1/2. Logo, o termo geral é dado por
an = a1 + (n-1)cdot r = 1 + (n-1)cdot 12 = n+12

Passo 3

Para a monotonicidade, calculamos a diferença
an+1 - an = (n+1)+12 - n+12 = 12 > 0,
logo a sequência é estritamente crescente. Quanto à limitação, como anto+∞ quando nto∞, ela não é limitada superiormente (embora seja limitada inferiormente por 1).

Passo 4

A afirmação (a) “toda sequência convergente é limitada” é verdadeira.
Prova resumida: se anto L, existe N tal que para todo n>= N vale |an - L|<1, ou seja, |an|<=|L|+1. Para n< N temos um número finito de termos, cujo máximo absoluto é finito. Basta então tomar como cota M = max |L|+1,max1<= k< N|ak| para ver que |an|<= M para todo n, provando a limitação.

Resposta

Termo geral: an = n+12. A sequência é estritamente crescente e não é limitada superiormente (é limitada inferiormente por 1). A afirmativa (a) é verdadeira, pois qualquer sequência que converge a um limite L fica confinada dentro de uma banda em torno de L, garantindo uma cota máxima para todos os seus termos.

Exercícios relacionados