Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(i)
23
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) ( ) Toda sequência convergente é limitada;
(i)
23
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) ( ) Toda sequência convergente é limitada;
Passo 1
O enunciado (i) nos pede para expressar a sequência {1, 3/2, 2, 5/2, 3, …} por seu termo geral, depois classificá-la quanto à limitação (boundedness) e monotonicidade (monotonicity). Em seguida, avaliar se a afirmação “toda sequência convergente é limitada” é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Observando os termos, vemos uma progressão aritmética de primeiro termo a₁ = 1 e razão r = 1/2. Logo, o termo geral é dado por
Passo 3
Para a monotonicidade, calculamos a diferença
logo a sequência é estritamente crescente. Quanto à limitação, como
quando
, ela não é limitada superiormente (embora seja limitada inferiormente por 1).
Passo 4
A afirmação (a) “toda sequência convergente é limitada” é verdadeira.
Prova resumida: se , existe
tal que para todo
vale
, ou seja,
. Para
temos um número finito de termos, cujo máximo absoluto é finito. Basta então tomar como cota
para ver que
para todo
, provando a limitação.
Prova resumida: se
Resposta
Termo geral:
. A sequência é estritamente crescente e não é limitada superiormente (é limitada inferiormente por 1). A afirmativa (a) é verdadeira, pois qualquer sequência que converge a um limite
fica confinada dentro de uma banda em torno de
, garantindo uma cota máxima para todos os seus termos.