Dada f(x)=\frac{\left|x^{2}+x\right|}{x}. Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores:
\lim _{x \rightarrow 0} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\lvert x^{2}+x\rvert}{x}
e pede o limite quando x\to0. Como há valor absoluto, a ideia é escrever x^{2}+x em função do sinal de x^{2}+x e depois analisar os limites laterais.

Passo 2

Para tratar o valor absoluto, primeiro achamos onde x^{2}+x=0.
x^{2}+x=x(x+1)=0
tem raízes em x=0 e x=-1.
  • Para x>0, temos x+1>0 e x>0, logo x^{2}+x>0.
  • Para -1<x<0, temos x<0 mas x+1>0, logo x^{2}+x<0.
Então podemos reescrever
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}+x}{x}=x+1,&x>0,\\[6pt] \displaystyle \frac{-(x^{2}+x)}{x}=-(x+1)=-x-1,&-1<x<0. \end{cases}]

Passo 3

Analisando x\to0^+:
para x>0 vale f(x)=x+1.
Logo
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(x+1)=1.

Passo 4

Analisando x\to0^-:
para -1<x<0 vale f(x)=-x-1.
Logo
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(-x-1)=-1.

Passo 5

Como \lim_{x\to0^+}f(x)=1 difere de \lim_{x\to0^-}f(x)=-1, o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Resposta

O limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.

Exercícios relacionados