- Prove que, para todo
, tem-se
. Conclua que
é fechado se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos recapitular o que precisamos. Seja
.
– A fecho de , denotada por
, é o conjunto de todos os pontos
tais que toda vizinhança de
intersecta
.
– O conjunto derivado de , denotado por
, é o conjunto de todos os pontos de acumulação de
, isto é,
– A fecho de
– O conjunto derivado de
Queremos provar que
e usar isso para concluir que
é fechado
se, e somente se,
.
Passo 2
Prova da inclusão
.
Seja . Então toda vizinhança
satisfaz
.
– Se existe tal que
contém justamente o ponto
(ou seja,
), então
.
– Caso contrário, para todo , temos
. Isso significa exatamente que
.
Em ambos os casos . Logo
.
Seja
– Se existe
– Caso contrário, para todo
Em ambos os casos
Passo 3
Prova da inclusão
.
- Se
então, claro, toda vizinhança de intersecta (basta tomar mesmo), logo . - Se
então, por definição de ponto de acumulação, para todo vale , e em particular . Logo .
Logo em ambos os casos, e segue .
Passo 4
Concluímos que
.
Agora,
é fechado se, e somente se,
.
Pela igualdade acima isso equivale a
Pela igualdade acima isso equivale a
Resposta
Para todo
vale
. Consequentemente,
é fechado se, e somente se,
.