1. Prove que, para todo X \subset \mathbb{R}, tem-se \bar{X}=X \cup X^{\prime}. Conclua que X é fechado se, e somente se, X \supset X^{\prime}.

Passo 1

Vamos recapitular o que precisamos. Seja X\subset\mathbb{R}.
– A fecho de X, denotada por \bar X, é o conjunto de todos os pontos x tais que toda vizinhança de x intersecta X.
– O conjunto derivado de X, denotado por X', é o conjunto de todos os pontos de acumulação de X, isto é,
x\in X'\quad\Longleftrightarrow\quad\forall \varepsilon>0,\; (B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap X\neq\varnothing.
Queremos provar que
\bar X \;=\; X\;\cup\;X',
e usar isso para concluir que X é fechado \bar X=X se, e somente se, X\supset X'.

Passo 2

Prova da inclusão \bar X\subset X\cup X'.
Seja x\in\bar X. Então toda vizinhança B(x,\varepsilon) satisfaz B(x,\varepsilon)\cap X\neq\varnothing.
– Se existe \varepsilon>0 tal que B(x,\varepsilon)\cap X contém justamente o ponto x (ou seja, x\in X), então x\in X\subset X\cup X'.
– Caso contrário, para todo \varepsilon>0, temos (B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap X\neq\varnothing. Isso significa exatamente que x\in X'.
Em ambos os casos x\in X\cup X'. Logo \bar X\subset X\cup X'.

Passo 3

Prova da inclusão X\cup X'\subset\bar X.
  1. Se x\in X então, claro, toda vizinhança de x intersecta X (basta tomar x mesmo), logo x\in\bar X.
  2. Se x\in X' então, por definição de ponto de acumulação, para todo \varepsilon>0 vale (B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap X\neq\varnothing, e em particular B(x,\varepsilon)\cap X\neq\varnothing. Logo x\in\bar X.
    Logo em ambos os casos x\in\bar X, e segue X\cup X'\subset\bar X.

Passo 4

Concluímos que \bar X = X\cup X'.
Agora, X é fechado se, e somente se, \bar X = X.
Pela igualdade acima isso equivale a
X = X\cup X' \quad\Longleftrightarrow\quad X\supset X'.

Resposta

Para todo X\subset\mathbb{R} vale \displaystyle \bar X = X\cup X'. Consequentemente, X é fechado se, e somente se, X\supset X'.

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