Dada f(x)=raiz[3]x-1.
f é diferenciável em x=1?

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=raiz[3]x-1 e pergunta se ela é diferenciável em x=1. Vamos usar o conceito de derivada via limite e a teoria de funções potência para resolver.

Passo 2

Aplicar a definição de derivada em x=1. Temos
f'(1)=limhto 0f(1+h)-f(1)h=limhto0raiz[3](1+h)-1-raiz[3]1-1h=limhto0raiz[3]hh

Passo 3

Reconhecer que raiz[3]h=h^1/3, então o quociente fica

Passo 4

Analisar o limite limhto0h^-2/3. Como para hto0 o valor de h^-2/3 cresce sem limite (vai para +infty), a derivada não é finita.

Passo 5

Como o limite não existe como um número real finito, a derivada em x=1 não existe. Portanto a função não é diferenciável em x=1.

Resposta

Não. A função não é diferenciável em x = 1, pois o limite que define a derivada diverge para +∞.

Exercícios relacionados