Seja u(t)=23 t^3+t^2-12 t+6. Determine os valores de t para os quais:
dotu(t)=-12

Passo 1

O enunciado dá a função u(t)=23t^3+t^2-12t+6 e pede para achar os valores de t tais que dot u(t)=-12. Vamos usar o conceito de derivada de polinômios, aplicando a regra da potência para cada termo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada dot u(t)=u'(t) termo a termo. Pela regra da potência, se f(t)=t^n então f'(t)=n,t^n-1. Aplicando isso:
ddtl(tfrac23t^3r)=tfrac23cdot3t^2=2t^2,
ddt(t^2)=2t,
ddt(-12t)=-12,
ddt(6)=0
Somando tudo, obtemos
dot u(t)=2t^2+2t-12

Passo 3

Em seguida, igualamos dot u(t) a -12 e simplificamos a equação:
2t^2+2t-12=-12
Adicionando 12 em ambos os lados, fica
2t^2+2t=0

Passo 4

Para resolver 2t^2+2t=0, fatoramos:
2t(t+1)=0
Assim, as soluções são t=0 ou t=-1.

Resposta

t=0 ou t=-1

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