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As derivadas parciais
As derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $. Derivadas parciais são como derivadas normais, mas a gente foca em uma variável de cada vez, mantendo a outra fixa. Vamos precisar usar as regras de derivação básicas, como a regra do produto e a regra do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $:
-
Derivada de $ 6x^{2}y $ em relação a $ x $:
- $ y $ é constante, então fica $ 6y \times 2x = 12xy $.
-
Derivada de $ -7x{2}y{3} $ em relação a $ x $:
- $ y^{3} $ é constante, então fica $ -7y^{3} \times 2x = -14x y^{3} $.
Agora, juntando as duas partes:
$ \frac{\partial f}{\partial x} = 12xy - 14x y^{3} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Dessa vez, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos em relação a $ y $:
-
Derivada de $ 6x^{2}y $ em relação a $ y $:
- $ 6x^{2} $ é constante, então fica $ 6x^{2} \times 1 = 6x^{2} $.
-
Derivada de $ -7x{2}y{3} $ em relação a $ y $:
- $ -7x^{2} $ é constante, então fica $ -7x^{2} \times 3y^{2} = -21x{2}y{2} $.
Juntando essas partes:
$ \frac{\partial f}{\partial y} = 6x^{2} - 21x{2}y{2} $.
Resposta
As derivadas parciais de $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $ são: