Dada: f(x, y)=6 x^2 y-7 x^2 y^3, Obtenha:
As derivadas parciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $. Derivadas parciais são como derivadas normais, mas a gente foca em uma variável de cada vez, mantendo a outra fixa. Vamos precisar usar as regras de derivação básicas, como a regra do produto e a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $:
  1. Derivada de $ 6x^{2}y $ em relação a $ x $:
    • $ y $ é constante, então fica $ 6y \times 2x = 12xy $.
  2. Derivada de $ -7x{2}y{3} $ em relação a $ x $:
    • $ y^{3} $ é constante, então fica $ -7y^{3} \times 2x = -14x y^{3} $.
Agora, juntando as duas partes:
$ \frac{\partial f}{\partial x} = 12xy - 14x y^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Dessa vez, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos em relação a $ y $:
  1. Derivada de $ 6x^{2}y $ em relação a $ y $:
    • $ 6x^{2} $ é constante, então fica $ 6x^{2} \times 1 = 6x^{2} $.
  2. Derivada de $ -7x{2}y{3} $ em relação a $ y $:
    • $ -7x^{2} $ é constante, então fica $ -7x^{2} \times 3y^{2} = -21x{2}y{2} $.
Juntando essas partes:
$ \frac{\partial f}{\partial y} = 6x^{2} - 21x{2}y{2} $.

Resposta

As derivadas parciais de $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $ são:
f(x, y) = 6x^2y - 7x^2y^3
partial fpartial x = 12xy - 14x y^3

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