Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y, z)=(e^y+2 z, x e^y+2 z, 2 x e^y+2 z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr
e verificar se esse valor independe do caminho. Para isso, vamos mostrar que F é conservativo (ou seja, nablatimes F=0 num domínio simplesmente conectado), achar uma função potencial phi tal que
nablaphi = F,
e então usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Escrevemos
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(e^y+2z,,x,e^y+2z,,2x,e^y+2zr)
Calculamos as componentes do rotacional nablatimes F:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = partialpartial yl(2x e^y+2zr) - partialpartial zl(x e^y+2zr) = 2x e^y+2z - 2x e^y+2z =0,
partial Ppartial z - partial Rpartial x = partialpartial zl(e^y+2zr) - partialpartial xl(2x e^y+2zr) =2e^y+2z - 2e^y+2z =0,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = partialpartial xl(x e^y+2zr) - partialpartial yl(e^y+2zr) =e^y+2z - e^y+2z =0
Logo nablatimes F=(0,0,0).

Passo 3

O domínio de F é todo R^3, que é simplesmente conectado, e F é C^1. Portanto F é conservativo e admite potencial.

Passo 4

Procuramos phi(x,y,z) tal que
partial phipartial x = e^y+2z
Integrando em x,
phi(x,y,z) = x,e^y+2z + g(y,z)
Agora exigimos
partial phipartial y = x,e^y+2z + partial gpartial y stackrel!= Q = x,e^y+2z,
o que dá partial g/partial y=0, logo g=g(z). Por fim
partial phipartial z = 2x,e^y+2z + g'(z) stackrel!= R = 2x,e^y+2z,
implicando g'(z)=0. Assim g é constante e podemos tomar
phi(x,y,z) = x,e^y+2z

Passo 5

Como F=nablaphi, a integral de linha independe do caminho e vale sempre
integralCFcdot dr = phil(sigma(b)r) - phil(sigma(a)r)

Resposta

A função potencial é
phi(x,y,z) = x,e^y+2z
Logo
integralCFcdot dr = x(b),e^y(b)+2z(b) - x(a),e^y(a)+2z(a)

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