Calcule
, onde
(função vetorial) e
uma curva, definida pela função
.
Verifique que
é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
e verificar se esse valor independe do caminho. Para isso, vamos mostrar que é conservativo (ou seja,
num domínio simplesmente conectado), achar uma função potencial
tal que
e verificar se esse valor independe do caminho. Para isso, vamos mostrar que
e então usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos as componentes do rotacional
:
Logo
.
Passo 3
O domínio de
é todo
, que é simplesmente conectado, e
é
. Portanto
é conservativo e admite potencial.
Passo 4
Procuramos
tal que
Integrando em
,
Agora exigimos
o que dá
, logo
. Por fim
implicando
. Assim
é constante e podemos tomar
Passo 5
Como
, a integral de linha independe do caminho e vale sempre
Resposta
A função potencial é
Logo