Se
é diferenciável em
, escreva a derivada direcional acima em termos do gradiente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que temos uma função $ f $ que é diferenciável no intervalo $ (a, b) $. O que a gente precisa fazer é escrever a derivada direcional dessa função em termos do gradiente de $ f $. Basicamente, vamos ver como a derivada em qualquer direção específica está relacionada ao gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Imagine que você tem uma função $ f(x, y) $ e quer saber como ela muda se você se move em uma direção específica. A derivada direcional te dá exatamente essa taxa de variação.
Passo 3
Agora, o gradiente de $ f $, denotado por $ \nabla f $, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $. Em duas dimensões, fica assim:
Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 4
A derivada direcional na direção de um vetor unitário $ \mathbf{u} = (u_x, u_y) $ é dada pelo produto escalar entre o gradiente de $ f $ e o vetor $ \mathbf{u} $. Ou seja:
Isso significa que a derivada direcional é a soma das derivadas parciais ponderadas pelas componentes da direção escolhida.
Passo 5
Então, juntando tudo, se $ f $ é diferenciável no intervalo $ (a, b) $, a derivada direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{u} $ é expressa pelo gradiente de $ f $ multiplicado pelo vetor direção $ \mathbf{u} $.
Resposta
A derivada direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{u} $ é dada por: