(2.0) Dada
, calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto (2,2) na direção do vetor (1,2). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
em uma direção qualquer é calculada usando o gradiente da função. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Usaremos a regra do quociente para derivar.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o gradiente
no ponto (2,2):
Então,
Passo 7
Precisamos normalizar o vetor direção (1,2). A normalização transforma o vetor em um vetor unitário, que é necessário para a fórmula da derivada direcional.
Comprimento do vetor
:
Vetor unitário na direção de
:
Passo 8
A fórmula da derivada direcional
é:
Onde “·” representa o produto escalar.
Passo 9
Calculando o produto escalar:
Passo 10
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto (2,2) na direção do vetor (1,2) é
.