(2.0) Dada f(x, y)=y^3x+y, calcule a derivada direcional de f no ponto (2,2) na direção do vetor (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto (2,2) na direção do vetor (1,2). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de em uma direção qualquer é calculada usando o gradiente da função. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de fx = partial fpartial x :
fy = partial fpartial y
Usaremos a regra do quociente para derivar.

Passo 4

Calculando fx = 0 cdot (x + y) - y^3 cdot 1(x + y)^2 = -y^3(x + y)^2 :

Passo 5

Calculando fy = 3y^2 cdot (x + y) - y^3 cdot 1(x + y)^2 = 3y^2(x + y) - y^3(x + y)^2 :
fy = 3xy^2 + 3y^3 - y^3(x + y)^2 = 3xy^2 + 2y^3(x + y)^2
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular o gradiente fx(2,2) = -(2)^3(2 + 2)^2 = -816 = -0.5 no ponto (2,2):
fy(2,2) = 3 cdot 2 cdot (2)^2 + 2 cdot (2)^3(2 + 2)^2 = 3 cdot 2 cdot 4 + 2 cdot 816 = 24 + 1616 = 4016 = 2.5
Então,

Passo 7

Precisamos normalizar o vetor direção (1,2). A normalização transforma o vetor em um vetor unitário, que é necessário para a fórmula da derivada direcional.
Comprimento do vetor |u| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5 :
uunit = ( 1raiz5, 2raiz5 )
Vetor unitário na direção de :

Passo 8

A fórmula da derivada direcional Duf = nabla f cdot uunit é:
Onde “·” representa o produto escalar.

Passo 9

Calculando o produto escalar:
Duf = (-0.5) cdot 1raiz5 + 2.5 cdot 2raiz5
Duf = -0.5 + 5raiz5 = 4.5raiz5

Passo 10

Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por Duf = 4.5 raiz55 = 9 raiz510 :

Resposta

A derivada direcional de no ponto (2,2) na direção do vetor (1,2) é .

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