Determine a família de primitivas para cada função: integral sen(6 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar todas as primitivas (ou antiderivadas) da função sen(6x). Isso está ligado ao cálculo integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos usar as regras básicas de integração e entender um pouquinho sobre funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada da função seno. Sabemos que a integral de sen(x) em relação a x é -cos(x) + C, onde C é a constante de integração. Isso porque a derivada de -cos(x) é sen(x).

Passo 3

Agora, no nosso caso, a função dentro do seno não é apenas x, mas 6x. Isso significa que temos uma função composta, onde o argumento do seno é multiplicado por 6. Para integrar uma função da forma sen(k x), onde k é uma constante, usamos a regra da integração por substituição.

Passo 4

Aplicando a regra da substituição, sabemos que:
integral sen(k x) , dx = -1k cos(k x) + C
Aqui, k é o coeficiente que está multiplicando o x dentro do seno. No nosso exercício, k = 6.

Passo 5

Substituindo k por 6 na fórmula, temos:
integral sen(6x) , dx = -16 cos(6x) + C

Resposta

A família de primitivas da função sen(6x) é:
-16 cos(6x) + C
onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados