Determine a família de primitivas para cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar todas as primitivas (ou antiderivadas) da função
. Isso está ligado ao cálculo integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos usar as regras básicas de integração e entender um pouquinho sobre funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a antiderivada da função seno. Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Isso porque a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, no nosso caso, a função dentro do seno não é apenas
, mas
. Isso significa que temos uma função composta, onde o argumento do seno é multiplicado por 6. Para integrar uma função da forma
, onde
é uma constante, usamos a regra da integração por substituição.
Passo 4
Aplicando a regra da substituição, sabemos que:
Aqui,
é o coeficiente que está multiplicando o
dentro do seno. No nosso exercício,
.
Passo 5
Substituindo
por 6 na fórmula, temos:
Resposta
A família de primitivas da função
é:
onde
é uma constante qualquer.