3.Considere um sistema com massa m=4,0 \mathrm{~kg} ,e constante de amortecimento \gamma =1,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e constante elástica \mathrm{k}=25 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ;Considere como condição inicial que y(0)=0,5 \mathrm{~m} e y^{\prime}(0)=2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .Sabendo da segunda lei de Newton F_{R}=m y^{\prime \prime} e que a força amortecedora é F=-\gamma y e a força elástica é F=-k y
a.(5 pontos)Monte a equação diferencial do modelo com os valores fornecidos e encontre a solução geral e resolva o problema de valor inicial.
b.(5 pontos)Escreva a solução na forma y(t)=R \cos \left(\omega t-\delta_{p}\right)
c.(3 pontos)Faça o gráfico da solução encontrada.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola com amortecimento viscoso. Pela segunda lei de Newton a soma das forças é
m\,y'' + \gamma\,y' + k\,y = 0
onde m=4{,}0, \mathrm{kg}, \gamma=1{,}0, \mathrm{kg/s}, k=25, \mathrm{N/m}. Vamos resolver essa equação diferencial linear de segunda ordem, encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais y(0)=0{,}5, \mathrm m e y'(0)=2{,}5, \mathrm{m/s}.

Passo 2

Substituindo os valores na equação de movimento:
4\,y'' + 1\,y' + 25\,y = 0
ou seja
y'' + \tfrac14\,y' + \tfrac{25}{4}\,y = 0.
O coeficiente de amortecimento é
\beta = \frac{\gamma}{2m} = \frac{1}{8} = 0{,}125\\ \mathrm{s}^{-1},
a frequência natural não amortecida é
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = 2{,}5\\ \mathrm{rad/s},
e como \beta^2 < \omega_0^2 o regime é subamortecido, com frequência amortecida
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} = \sqrt{2{,}5^2 - 0{,}125^2} = \tfrac{\sqrt{399}}{8}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A solução geral no regime subamortecido é
y(t) = e^{-\beta t}\bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\bigr).
Em t=0 temos
y(0) = C_1 = 0{,}5.
Derivando,
y'(t) = -\beta e^{-\beta t}\bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\bigr) + e^{-\beta t}\bigl(-C_1\omega_d\sin(\omega_d t)+C_2\omega_d\cos(\omega_d t)\bigr),
então em t=0:
y'(0) = -\beta C_1 + C_2\omega_d = 2{,}5.
Substituindo \beta=1/8, C_1=0{,}5 e \omega_d=\sqrt{399}/8,
-\tfrac{1}{8}\cdot0{,}5 + C_2\frac{\sqrt{399}}{8} = 2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{2{,}5 + 0{,}0625}{(\sqrt{399}/8)} = \frac{20{,}5}{\sqrt{399}}.
Logo a solução com as condições iniciais é
y(t) = e^{-t/8}\Bigl(0{,}5\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{8}t\bigr) + \frac{20{,}5}{\sqrt{399}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{8}t\bigr)\Bigr).

Passo 4

Para escrever na forma de amplitude–fase, note que dentro dos parênteses temos um coseno deslocado. Definindo
R = \sqrt{C_1^2 + C_2^2} = \sqrt{0{,}5^2 + \Bigl(\tfrac{20{,}5}{\sqrt{399}}\Bigr)^{\!2}} \approx 1{,}142,
e
\delta_p = \arctan\!\bigl(\tfrac{C_2}{C_1}\bigr) = \arctan\!\Bigl(\tfrac{20{,}5}{0{,}5\,\sqrt{399}}\Bigr) \approx 1{,}117\\ \mathrm{rad},
podemos escrever
y(t) = R\,e^{-t/8}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{8}t - \delta_p\Bigr).

Passo 5

O gráfico é uma oscilação com frequência \omega_d=\tfrac{\sqrt{399}}{8}\approx2{,}496, \mathrm{rad/s} e amortecimento exponencial e^{-t/8}. Assim, a curva é um cosseno cujo pico máximo decai como R\,e^{-t/8}. O período vale
T = \frac{2\pi}{\omega_d}\approx \frac{2\pi}{2{,}496}\approx2{,}52\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) A equação diferencial é
4\,y'' + y' + 25\,y = 0
e, aplicando y(0)=0{,}5, y'(0)=2{,}5, a solução é
y(t) = e^{-t/8}\Bigl(0{,}5\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{8}t\bigr) + \frac{20{,}5}{\sqrt{399}}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{8}t\bigr)\Bigr).
(b) Na forma amplitude–fase:
y(t) = 1{,}142\,e^{-t/8}\cos\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{399}}{8}t - 1{,}117\Bigr).
(c) O gráfico é uma oscilação amortecida exponencialmente com frequência \approx2{,}496, \mathrm{rad/s}, período \approx2{,}52, \mathrm{s}, e envelope dado por \pm1{,}142\,e^{-t/8}.

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