3.Considere um sistema com massa
,e constante de amortecimento
e constante elástica
;Considere como condição inicial que
e
.Sabendo da segunda lei de Newton
e que a força amortecedora é
e a força elástica é
:
a.(5 pontos)Monte a equação diferencial do modelo com os valores fornecidos e encontre a solução geral e resolva o problema de valor inicial.
b.(5 pontos)Escreva a solução na forma
c.(3 pontos)Faça o gráfico da solução encontrada.
a.(5 pontos)Monte a equação diferencial do modelo com os valores fornecidos e encontre a solução geral e resolva o problema de valor inicial.
b.(5 pontos)Escreva a solução na forma
c.(3 pontos)Faça o gráfico da solução encontrada.
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa–mola com amortecimento viscoso. Pela segunda lei de Newton a soma das forças é
onde
,
,
,
,
,
. Vamos resolver essa equação diferencial linear de segunda ordem, encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais
,
e
,
.
Passo 2
Substituindo os valores na equação de movimento:
ou seja
O coeficiente de amortecimento é
a frequência natural não amortecida é
e como
o regime é subamortecido, com frequência amortecida
Passo 3
A solução geral no regime subamortecido é
Em
temos
Derivando,
então em
:
Substituindo
,
e
,
Logo a solução com as condições iniciais é
Passo 4
Para escrever na forma de amplitude–fase, note que dentro dos parênteses temos um coseno deslocado. Definindo
e
podemos escrever
Passo 5
O gráfico é uma oscilação com frequência
,
e amortecimento exponencial
. Assim, a curva é um cosseno cujo pico máximo decai como
. O período vale
Resposta
(a) A equação diferencial é
e, aplicando
,
, a solução é
(b) Na forma amplitude–fase:
(c) O gráfico é uma oscilação amortecida exponencialmente com frequência
,
, período
,
, e envelope dado por
.