Dada f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \text {, se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Ache f_{1}(0,0) e f_{2}(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede as derivadas parciais de f em (0,0), ou seja, \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, observando variações ao longo dos eixos coordenados.

Passo 2

A derivada parcial em relação a x em (0,0) está dada por
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,\,0)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0, ao avaliar f(h,0) temos
f(h,0)=\frac{h^{3}+0}{h^{2}+0}=h.

Passo 3

Substituindo na definição,
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\frac{h-0}{h}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.

Passo 4

De modo análogo, a derivada parcial em relação a y em (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to 0}\frac{f(0,\,0+k)-f(0,0)}{k}.
Para k\neq0,
f(0,k)=\frac{0+k^{3}}{0+k^{2}}=k,
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\frac{f(0,k)-0}{k}=\frac{k}{k}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1.

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