Calcule \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}:
f(x, y)=\frac{1}{x-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\frac{1}{x-y^{2}}. Esse é um caso de função composta do tipo
f(x,y)=(x-y^{2})^{-1},
então vamos usar a regra da cadeia para derivar em relação a x e em relação a y.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a cadeia em
f(x,y)=(x-y^{2})^{-1}.
A derivada externa de (u)^{-1} em relação a u é -u^{-2}, e a derivada interna de u=x-y^{2} em relação a x é 1. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =-\bigl(x-y^{2}\bigr)^{-2}\cdot 1 =-\frac{1}{\bigl(x-y^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y}, agora x é tratado como constante. Usando a mesma ideia, a derivada externa continua -u^{-2} e a derivada interna de u=x-y^{2} em relação a y é -2y. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =-\bigl(x-y^{2}\bigr)^{-2}\cdot(-2y) =\frac{2y}{\bigl(x-y^{2}\bigr)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{(x-y^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{(x-y^{2})^{2}}.

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