Verifique se \mathrm{f}(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x^{2}+y^{2}+1} \text {, se } x^{2}+y^{2}<1 \\\\ 0 \text {, se } x^{2}+y^{2} \geq 1\end{array}\right. é diferenciável em (0,0).
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). O conteúdo necessário é a noção de diferenciabilidade em várias variáveis e o fato de que funções compostas de funções suaves continuam suaves.
Passo 2
Note que em (0,0) temos 0^{2}+0^{2}<1, logo f(0,0)=\sqrt{1}=1. Além disso, existe \delta=1 tal que, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, continua valendo x^{2}+y^{2}<1 e, portanto, em toda a vizinhança B((0,0),1) a função coincide com
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}.
Passo 3
A função
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}
é composição da função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}+1, que é polinomial (logo C^\infty), com a função t\mapsto\sqrt{t}, que é C^\infty em t=1>0. Pelo Teorema da Função Composta, g é C^\infty em (0,0) e portanto diferenciável ali.
Como f coincide com g numa vizinhança de (0,0) e g é diferenciável em (0,0), segue que f também é diferenciável em (0,0). A diferencial Df(0,0) é dada pelo vetor gradiente \nabla f(0,0)=(0,0).
Resposta
A função f é diferenciável em (0,0) e \nabla f(0,0)=(0,0).