Verifique se \mathrm{f}(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x^{2}+y^{2}+1} \text {, se } x^{2}+y^{2}<1 \\\\ 0 \text {, se } x^{2}+y^{2} \geq 1\end{array}\right. é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \sqrt{x^{2}+y^{2}+1},&\text{se }x^{2}+y^{2}<1,\\\\ 0,&\text{se }x^{2}+y^{2}\ge1, \end{cases}
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). O conteúdo necessário é a noção de diferenciabilidade em várias variáveis e o fato de que funções compostas de funções suaves continuam suaves.

Passo 2

Note que em (0,0) temos 0^{2}+0^{2}<1, logo f(0,0)=\sqrt{1}=1. Além disso, existe \delta=1 tal que, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, continua valendo x^{2}+y^{2}<1 e, portanto, em toda a vizinhança B((0,0),1) a função coincide com
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 3

A função
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}
é composição da função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}+1, que é polinomial (logo C^\infty), com a função t\mapsto\sqrt{t}, que é C^\infty em t=1>0. Pelo Teorema da Função Composta, g é C^\infty em (0,0) e portanto diferenciável ali.
Em particular, seus parciais são
g_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}}, \quad g_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}},
de onde
g_x(0,0)=0, \quad g_y(0,0)=0.

Passo 4

Como f coincide com g numa vizinhança de (0,0) e g é diferenciável em (0,0), segue que f também é diferenciável em (0,0). A diferencial Df(0,0) é dada pelo vetor gradiente \nabla f(0,0)=(0,0).

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) e \nabla f(0,0)=(0,0).

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