Dada
(a) Calcule o rotacional de
(b) Calcule a integral de linha da função
ao longo da curva definida pela parábola
partindo desde o vértice da parábola até o ponto
.
(b) Calcule a integral de linha da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre o rotacional de um campo vetorial e integrais de linha. Vamos precisar entender como calcular o rotacional
e como realizar uma integral de linha ao longo de uma curva específica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional da função vetorial
. O rotacional em duas dimensões pode ser interpretado como a componente
do rotacional em três dimensões. A fórmula para o rotacional
é:
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Aqui, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
:
Em seguida,
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Isso significa que o rotacional de
é zero em toda a região considerada.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: calcular a integral de linha da função
ao longo da curva definida pela parábola
, do vértice até o ponto
.
Primeiro, vamos parametrizar a curva. A parábola
pode ser parametrizada em termos de
:
Vamos usar
como parâmetro, variando de
a
.
Passo 7
Com a parametrização
, onde
varia de
a
, temos:
Agora, calculamos os diferenciais
e
:
Passo 8
A expressão para a integral de linha é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 9
Primeiro, substituímos
e
:
Passo 10
Agora, simplificamos a expressão:
Passo 11
Observamos que os termos envolvendo
podem ser combinados:
Passo 12
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser complexa para calcular manualmente, mas percebemos que devido ao rotacional ser zero (parte a), o campo
é conservativo. Portanto, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Passo 13
Para campos conservativos, podemos encontrar um potencial
tal que
. Então, a integral de linha será:
Vamos encontrar
.
Passo 14
Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 15
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
Passo 16
Portanto, o potencial é:
Podemos ignorar a constante
para a diferença.
Passo 17
Agora, calculamos
e
:
Passo 18
Portanto, a integral de linha é:
Resposta
(a) O rotacional de
é zero.
(b) A integral de linha de
ao longo da curva
do vértice até
é: