Dada
F(x, y)=(4 e^2 x-3 e^x e^y) i+(2 e^2 y-3 e^x e^y)
(a) Calcule o rotacional de F(x, y)
(b) Calcule a integral de linha da função F(x, y) ao longo da curva definida pela parábola
y^2=4 x
partindo desde o vértice da parábola até o ponto (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre o rotacional de um campo vetorial e integrais de linha. Vamos precisar entender como calcular o rotacional nabla times F e como realizar uma integral de linha ao longo de uma curva específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional da função vetorial F(x, y). O rotacional em duas dimensões pode ser interpretado como a componente k do rotacional em três dimensões. A fórmula para o rotacional nabla times F é:
nabla times F = partial Fypartial x - partial Fxpartial y

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F(x, y):
F(x, y) = (4 e^2x - 3 e^x e^y) i + (2 e^2y - 3 e^x e^y) j
Aqui, temos:
Fx = 4 e^2x - 3 e^x e^y
Fy = 2 e^2y - 3 e^x e^y

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, partial Fypartial x:
partialpartial x (2 e^2y - 3 e^x e^y) = -3 e^x e^y
Em seguida, partial Fxpartial y:
partialpartial y (4 e^2x - 3 e^x e^y) = -3 e^x e^y

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times F = (-3 e^x e^y) - (-3 e^x e^y) = 0
Isso significa que o rotacional de F(x, y) é zero em toda a região considerada.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: calcular a integral de linha da função F(x, y) ao longo da curva definida pela parábola y^2 = 4x, do vértice até o ponto (1, 2).
Primeiro, vamos parametrizar a curva. A parábola y^2 = 4x pode ser parametrizada em termos de y:
x = y^24
Vamos usar y como parâmetro, variando de 0 a 2.

Passo 7

Com a parametrização y = t, onde t varia de 0 a 2, temos:
x(t) = t^24
y(t) = t
Agora, calculamos os diferenciais dx e dy:
dx = ddt(t^24) dt = t2 dt
dy = ddt(t) dt = dt

Passo 8

A expressão para a integral de linha é:
integralC F cdot dr = integral0^2 [ Fx(x(t), y(t)) cdot dx + Fy(x(t), y(t)) cdot dy ]
Substituindo Fx, Fy, dx e dy:
integral0^2 [ (4 e^2x(t) - 3 e^x(t) e^y(t)) cdot t2 + (2 e^2y(t) - 3 e^x(t) e^y(t)) cdot 1 ] dt

Passo 9

Primeiro, substituímos x(t) = t^24 e y(t) = t:
integral0^2 [ (4 e^t^22 - 3 e^t^24 e^t) cdot t2 + (2 e^2t - 3 e^t^24 e^t) ] dt

Passo 10

Agora, simplificamos a expressão:
integral0^2 [ 2 t e^t^22 - 3 t2 e^t^24 + t + 2 e^2t - 3 e^t^24 + t ] dt

Passo 11

Observamos que os termos envolvendo e^t^24 + t podem ser combinados:
- 3 t2 e^t^24 + t - 3 e^t^24 + t = -3 ( t2 + 1 ) e^t^24 + t

Passo 12

Então, a integral fica:
integral0^2 [ 2 t e^t^22 - 3 ( t2 + 1 ) e^t^24 + t + 2 e^2t ] dt
Essa integral pode ser complexa para calcular manualmente, mas percebemos que devido ao rotacional ser zero (parte a), o campo F é conservativo. Portanto, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 13

Para campos conservativos, podemos encontrar um potencial phi(x, y) tal que nabla phi = F. Então, a integral de linha será:
phi(1, 2) - phi(0, 0)
Vamos encontrar phi(x, y).

Passo 14

Sabemos que:
partial phipartial x = 4 e^2x - 3 e^x e^y
Integrando em relação a x:
phi(x, y) = 2 e^2x - 3 e^x e^y + g(y)
Onde g(y) é uma função de y.

Passo 15

Agora, derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos a Fy:
partial phipartial y = -3 e^x e^y + g'(y) = 2 e^2y - 3 e^x e^y
Resolvendo para g'(y):
g'(y) = 2 e^2y
Integrando em relação a y:
g(y) = e^2y + C

Passo 16

Portanto, o potencial é:
phi(x, y) = 2 e^2x - 3 e^x e^y + e^2y + C
Podemos ignorar a constante C para a diferença.

Passo 17

Agora, calculamos phi(1, 2) e phi(0, 0):
phi(1, 2) = 2 e^2(1) - 3 e^1 e^2 + e^2(2)
phi(1, 2) = 2 e^2 - 3 e^3 + e^4
phi(0, 0) = 2 e^0 - 3 e^0 e^0 + e^0 = 2 - 3 + 1 = 0

Passo 18

Portanto, a integral de linha é:
phi(1, 2) - phi(0, 0) = 2 e^2 - 3 e^3 + e^4

Resposta

(a) O rotacional de F(x, y) é zero.
(b) A integral de linha de F(x, y) ao longo da curva y^2=4x do vértice até (1,2) é:
2 e^2 - 3 e^3 + e^4

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