Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
F(t)=1t i-2raiz1-t j+sen(t) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício que pede para determinar o domínio da função vetorial dada por:
F(t)=1t i - 2raiz1-t j + sen(t) k
O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de $ t $ para os quais todas as componentes da função estão definidas. Vamos precisar entender as restrições de cada parte dessa função para encontrar o domínio completo.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a componente $ \frac{1}{t} \vec{i} $. Aqui, o denominador $ t $ não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, temos:
1t i
Isso significa que $ t $ pode ser qualquer número real, exceto zero.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente $ -\frac{2}{\sqrt{1-t}} \vec{j} $. O denominador é $ \sqrt{1-t} $, que precisa ser um número real e diferente de zero. Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
-2raiz1-t j
Resolvendo essa desigualdade:
raiz1-t
Portanto, $ t $ deve ser menor que um.

Passo 4

Por último, temos a componente $ \operatorname{sen}(t) \vec{k} $. A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para $ t $ nessa parte da função.

Resposta

Juntando todas as condições que encontramos:
  • $ t \neq 0 $
  • $ t < 1 $
O domínio da função vetorial $ \vec{F}(t) $ é então todos os números reais menores que 1, exceto zero. Em notação de intervalo:
t neq 0 í

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