Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício que pede para determinar o domínio da função vetorial dada por:
O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de $ t $ para os quais todas as componentes da função estão definidas. Vamos precisar entender as restrições de cada parte dessa função para encontrar o domínio completo.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a componente $ \frac{1}{t} \vec{i} $. Aqui, o denominador $ t $ não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, temos:
Isso significa que $ t $ pode ser qualquer número real, exceto zero.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente $ -\frac{2}{\sqrt{1-t}} \vec{j} $. O denominador é $ \sqrt{1-t} $, que precisa ser um número real e diferente de zero. Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, $ t $ deve ser menor que um.
Passo 4
Por último, temos a componente $ \operatorname{sen}(t) \vec{k} $. A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para $ t $ nessa parte da função.
Resposta
Juntando todas as condições que encontramos:
- $ t \neq 0 $
- $ t < 1 $
O domínio da função vetorial $ \vec{F}(t) $ é então todos os números reais menores que 1, exceto zero. Em notação de intervalo: