Resolva o PVI:
Descreva o comportamento da solução quando
.
Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que consiste em uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Conteúdo: equação diferencial ordinária linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Enunciado resumido: resolver
com condições iniciais
e
.
Passo 2
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, começamos formando a equação característica associada. Substituímos
e obtemos:
Resolvendo essa equação quadrática (pela soma e produto de raízes ou fórmula de Bhaskara), encontramos as raízes:
Passo 3
Como as raízes
e
são distintas, a solução geral da EDO é dada por combinação linear de exponenciais:
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
:
- De
vem
- Calculamos
e impomos :
Resolvendo o sistema:
vemos que
e
.
Passo 5
Portanto a solução particular do PVI é
Comportamento quando:
-
: . -
: , pois o expoente passa a ser muito positivo.
Resposta
x(t) = e^{-t}, com x(t) \to 0 quando t \to +\infty e x(t) \to +\infty quando t \to -\infty.