Resolva o PVI:
x^prime prime+3 x^prime+2 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=-1
Descreva o comportamento da solução quando t +infty e t -infty.

Passo 1

Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que consiste em uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Conteúdo: equação diferencial ordinária linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Enunciado resumido: resolver
x'' + 3x' + 2x = 0,
com condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=-1.

Passo 2

Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, começamos formando a equação característica associada. Substituímos x(t)=e^lambda t e obtemos:
lambda^2 + 3 autolambda + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática (pela soma e produto de raízes ou fórmula de Bhaskara), encontramos as raízes:
lambda1 = -1,
lambda2 = -2

Passo 3

Como as raízes lambda1 e lambda2 são distintas, a solução geral da EDO é dada por combinação linear de exponenciais:
x(t) = C1 e^lambda1 t + C2 e^lambda2 t = C1 e^-t + C2 e^-2t 

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2:
  1. De x(0)=1 vem
C1 + C2 = 1
  1. Calculamos x'(t) = -C1 e^-t -2 C2 e^-2t e impomos x'(0)=-1:
- C1 - 2 C2 = -1
Resolvendo o sistema:
C1 + C2 = 1, - C1 - 2 C2 = -1,
vemos que C2 = 0 e C1 = 1.

Passo 5

Portanto a solução particular do PVI é
x(t) = e^-t
Comportamento quando:
  • t to +infty: x(t)=e^-t to 0.
  • t to -infty: x(t)=e^-t to +infty, pois o expoente passa a ser muito positivo.

Resposta

x(t) = e^{-t}, com x(t) \to 0 quando t \to +\infty e x(t) \to +\infty quando t \to -\infty.

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