Decida quais dos seguintes campos, definidos em todo R^2, são conservativos:
F(x, y, z)=(e^x+y+z, e^x+y+z, e^x+y+z)

Passo 1

O exercício pede para decidir se o campo vec F(x,y,z)=(e^x+y+z,;e^x+y+z,;e^x+y+z), definido em R^3, é conservativo. O conteúdo aqui é campo conservativo e vamos precisar usar o critério de que, em um domínio simplesmente conexo, o campo é conservativo se e somente se nablatimesvec F=vec0.

Passo 2

Vamos calcular o rotor (curl) de vec F. Pela definição,
nablatimesvec F=l(partial F3partial y-partial F2partial z,;partial F1partial z-partial F3partial x,;partial F2partial x-partial F1partial yr)

Passo 3

Como F1=F2=F3=e^x+y+z, todas as derivadas parciais envolvem a mesma função. Por exemplo,
partial F3partial y-partial F2partial z=e^x+y+z-e^x+y+z=0,
e de modo análogo cada componente do rotor sai zero. Logo nablatimesvec F=vec0.

Passo 4

Para verificar explicitamente que existe potencial, procuramos phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. Primeiro,
partialphipartial x=F1=e^x+y+zimpliesphi=integral e^x+y+z,dx=e^x+y+z+g(y,z)

Passo 5

Em seguida impomos
partialphipartial y=e^x+y+z+partial gpartial y=F2=e^x+y+zimpliespartial gpartial y=0,
e de forma similar partial g/partial z=0. Logo g é constante e
phi(x,y,z)=e^x+y+z+C

Passo 6

Como encontramos potencial, concluímos que o campo é conservativo.

Resposta

O campo é conservativo e um potencial é phi(x,y,z)=e^x+y+z+C.

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