Dada: f(x, y)=5 x y^2-3 x^2 y^3, Obtenha:
A derivada direcional no ponto (-1 ;-12) na direção do vetor u=(-3 ; 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 5xy^{2} - 3x{2}y{3} $, e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto f(x, y) = 5xy^2 - 3x^2y^3 na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 4) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Derivadas parciais: para saber como a função muda em cada direção individual (x e y).
  • Gradiente da função: que junta as derivadas parciais e aponta na direção de maior crescimento da função.
  • Vetores unitários: para normalizar a direção que estamos considerando.
  • Produto escalar: para calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $.
Primeiro, para $ f_{x} $:
(-1, -12)
Agora, para $ f_{y} $:
fx

Passo 4

O vetor direção dado é $ \mathbf{u} = (-3, 4) $. Para usar na derivada direcional, precisamos normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de $ \mathbf{u} $:
u = (-3, 4)
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u_{unit}} $ é:
u

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente de $ f $ no ponto dado com o vetor unitário na direção desejada.
O gradiente de $ f $ é:
f
No ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $, temos:
f
Então, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é:
nabla f = ( fx, fy )

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:
Du f = ( 12 times -35 ) + ( 114 times 45 ) = ( -310 ) + ( 4420 ) = -310 + 115 = -310 + 2210 = 1910 = 1,9

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 4) $ é 1,9.

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