Dada:
, Obtenha:
A derivada direcional no ponto
na direção do vetor
A derivada direcional no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 5xy^{2} - 3x{2}y{3} $, e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 4) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Derivadas parciais: para saber como a função muda em cada direção individual (x e y).
- Gradiente da função: que junta as derivadas parciais e aponta na direção de maior crescimento da função.
- Vetores unitários: para normalizar a direção que estamos considerando.
- Produto escalar: para calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $.
Primeiro, para $ f_{x} $:
Agora, para $ f_{y} $:
Passo 4
O vetor direção dado é $ \mathbf{u} = (-3, 4) $. Para usar na derivada direcional, precisamos normalizar esse vetor, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de $ \mathbf{u} $:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u_{unit}} $ é:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional, que é o produto escalar do gradiente de $ f $ no ponto dado com o vetor unitário na direção desejada.
O gradiente de $ f $ é:
No ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $, temos:
Então, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f $ é:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ \left(-1, -\frac{1}{2}\right) $ na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 4) $ é 1,9.