Resolva as integrais abaixo
\int\left(\frac{10}{y^{3 / 4}}-\sqrt[3]{y}+4 \sqrt{y}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da soma de três funções potenciais em y:
\int\Bigl(\frac{10}{y^{3/4}} - \sqrt[3]{y} + 4\sqrt{y}\Bigr)dy.
Aqui o conteúdo é o Regra da Potência para integrais, que diz que se n \neq -1 então
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Reescrevemos cada termo com expoentes:
\frac{10}{y^{3/4}} = 10\,y^{-3/4},\quad \sqrt[3]{y} = y^{1/3},\quad \sqrt{y} = y^{1/2}.
Logo a integral fica
\int\Bigl(10\,y^{-3/4} - y^{1/3} + 4\,y^{1/2}\Bigr)dy.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência termo a termo:
  1. Para 10\int y^{-3/4}dy: o expoente n=-\tfrac34\neq -1, então
10\int y^{-3/4}dy = 10\cdot\frac{y^{-3/4+1}}{-3/4+1} =10\cdot\frac{y^{1/4}}{1/4} =40\,y^{1/4}.
  1. Para -\int y^{1/3}dy: o expoente n=\tfrac13, então
-\int y^{1/3}dy = -\frac{y^{1/3+1}}{1/3+1} = -\frac{y^{4/3}}{4/3} = -\frac{3}{4}\,y^{4/3}.
  1. Para 4\int y^{1/2}dy: o expoente n=\tfrac12, então
4\int y^{1/2}dy = 4\cdot\frac{y^{1/2+1}}{1/2+1} =4\cdot\frac{y^{3/2}}{3/2} =\frac{8}{3}\,y^{3/2}.

Passo 4

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
40\,y^{1/4} \;-\;\frac{3}{4}\,y^{4/3} \;+\;\frac{8}{3}\,y^{3/2} \;+\;C.

Resposta

\int\Bigl(\frac{10}{y^{3/4}} - \sqrt[3]{y} + 4\sqrt{y}\Bigr)dy = 40\,y^{1/4} \;-\;\frac{3}{4}\,y^{4/3} \;+\;\frac{8}{3}\,y^{3/2} + C.

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