Determine a derivada direcional de F(x, y, z)=yx+z em (1,1,1), na direção de (1,1,1) à (1,2,3);

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de F(x,y,z)=yx+z no ponto (1,1,1) na direção que vai de (1,1,1) até (1,2,3). Vamos usar o gradiente de F e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para achar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de:
partial Fpartial x = -y(x+z)^2, partial Fpartial y = 1x+z, partial Fpartial z = -y(x+z)^2
Avaliando em (1,1,1), onde x+z=2 e y=1, fica
nabla F(1,1,1) = l(-tfrac14,,tfrac12,,-tfrac14r)

Passo 3

O vetor direção é a diferença entre os pontos:
(1,2,3)-(1,1,1) = (0,1,2)
O módulo desse vetor é raiz0^2+1^2+2^2=raiz5, então o vetor unitário é
u = l(0,,tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar nabla F(1,1,1)cdotu. Calculando:
(-tfrac14)cdot0 + tfrac12cdottfrac1raiz5 + (-tfrac14)cdottfrac2raiz5 = 1/2 - 1/2raiz5 = 0

Resposta

0

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