Dada a função f(x)=15 x^2+x-2, Determine os valoces de x en que
(x-4) f(x)(x^2+3) >= 0

Passo 1

O enunciado pede os valores de x que satisfazem
(x-4),f(x),(x^2+3)>= 0
onde f(x)=15x^2+x-2. O conteúdo é discussão de sinal de produto de fatores, e vamos precisar achar as raízes de f(x) e analisar o sinal de cada fator.

Passo 2

Note que x^2+3>0 para todo xinR, pois x^2>=0 implica x^2+3>=3. Logo, o sinal do produto vem apenas de (x-4),f(x), e a desigualdade fica
(x-4),f(x)>=0.

Passo 3

Calculemos as raízes de f(x)=15x^2+x-2 pela fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De
cuja raiz é raizDe. Então
x=-1pm112cdot15=-1pm1130,
isto é, x=-tfrac25 e x=tfrac13.

Passo 4

Agora façamos a discussão de sinal em cada intervalo determinado pelas raízes de f e pela raiz de x-4 (que é x=4):
Para x<-tfrac25: f(x)>0 (abertura para cima) e x-4<0 ⇒ produto <0 ⇒ não satisfaz.
Em x=-tfrac25: f(x)=0 ⇒ produto =0 ⇒ satisfaz.
Para -tfrac25: f(x)<0, x-4<0 ⇒ produto >0 ⇒ satisfaz.
Em x=tfrac13: f(x)=0 ⇒ produto =0 ⇒ satisfaz.
Para tfrac13: f(x)>0, x-4<0 ⇒ produto <0 ⇒ não satisfaz.
Em x=4: x-4=0 ⇒ produto =0 ⇒ satisfaz.
Para x>4: f(x)>0, x-4>0 ⇒ produto >0 ⇒ satisfaz.

Passo 5

Combinando os intervalos onde a desigualdade é válida (incluindo pontos em que o produto fica zero), a solução é
xinl[-tfrac25,,tfrac13r]cup[4,,infty)

Resposta

x \in [ -2/5, 1/3 ] \cup [4, \infty)

Exercícios relacionados