1. (a) Dada a função f(x)=l3 x+1, se x <= 1, x^2+2 x-3x-1, se x>1, determine todos os valores de x para os quais ela é contínua.
    (b) Existe c in(-1 ; 2) tal que f(c)=3 ?

Passo 1

O enunciado dá a função a pedaços
f(x)= 3x+1,&x<= 1,[6pt] dfracx^2+2x-3x-1,&x>1,
e pede em (a) todos os pontos de continuidade e em (b) se existe cin(-1;2) tal que f(c)=3. Usaremos a continuidade de funções polinomiais e racionais e o Teorema do Valor Intermediário.]

Passo 2

Para x<1, f(x)=3x+1 é polinomial, logo contínua em (-infty,1). Para x>1, note que
x^2+2x-3=(x-1)(x+3),
portanto, para x>1,
f(x)=(x-1)(x+3)x-1=x+3,
que é polinomial e, assim, contínua em (1,infty).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em x=1.
Limite à esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(3x+1)=3cdot1+1=4
Limite à direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x+3)=1+3=4
E f(1)=3cdot1+1=4. Como ambos os limites laterais coincidem e valem f(1), f é contínua em x=1.

Passo 4

Concluímos que f é contínua em todo R.

Passo 5

Para (b), como f é contínua em [-1,2], pelo Teorema do Valor Intermediário basta verificar
f(-1)=3(-1)+1=-2, f(2)=2+3=5
Como -2<3<5, existe cin(-1,2) tal que f(c)=3. Para achar um valor, note que se c<=1 então f(c)=3c+1=3 implica 3c=2 e c=tfrac23in(-1,2).

Resposta

(a) f é contínua para todo xinR.
(b) Sim. Por exemplo, c=tfrac23.

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