Seja
o conjunto das funções tais que
se, e somente se,
- Mostre que
é um subespaço de
.
- Mostre que
contém as funções
e
para todo
- Mostre que
tem dimensão infinita.
Seja
dado por
- Mostre que a imagem de
tem dimensão finita. Ache uma base da imagem de
.
- Determine o núcleo de
.
- Ache todos os
e todos os
tais que
.
Exercício 5. (Apostol seção 2.4 exercício 29)
Exercício 5. (Apostol seção 2.4 exercício 29)
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
de funções contínuas reais em
.
Definimos o subconjunto
Definimos o subconjunto
Precisamos mostrar que
-
é subespaço; -
e , , estão em ; -
tem dimensão infinita;
depois, com o operador
- mostrar
e achar base de ; - determinar
; - encontrar todos os autovalores
e autovetores tais que .
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço, note que as aplicações
são funcionais lineares em
. Então
é interseção de subespaços (kernels), logo é subespaço.
Passo 3
Para
e
, usamos ortogonalidade de senos e cossenos em
:
O mesmo vale para
:
Logo
.
Passo 4
As funções
são infinitamente muitas e linearmente independentes em
. Como todas estão em
, concluímos
.
Passo 5
Expandindo
, temos
Assim
é combinação linear de
. Logo
, e
.
Para ver que a dimensão é exatamente 3, basta notar que
logo
e são LI.
Portanto
Portanto
Passo 6
Para ter
identicamente, os três coeficientes acima devem ser nulos:
Isso é exatamente a definição de
. Logo
Passo 7
Buscamos
e
tais que
. Como
anula a parte em
, todo autovetor não-nulo deve estar em
, isto é
Calculemos
Igualando a
, obtemos o sistema de coeficientes:
Dessas equações surgem duas possibilidades não-triviais:
- Se
, então e . Ou seja, constantes são autovetores com autovalor . - Se
, então e pelo menos um de é não-nulo. Ou seja, funções da forma são autovetores com autovalor .
Resposta
-
é subespaço pois é interseção de kernels de funcionais lineares. - Para
, e satisfazem as três condições de ortogonalidade e pertencem a . -
é infinito–dimensional, pois contém o conjunto infinito de funções LI . -
, base . -
. - Autovalores não-nulos:
com autovetores constantes ,
com autovetores , .