Seja S subset C([-pi, pi]) o conjunto das funções tais que f in S se, e somente se,
integral-pi^pi f(t) d t=integral-pi^pi f(t) sen(t) d t=integral-pi^pi f(t) cos (t) d t=0
  1. Mostre que S é um subespaço de C([-pi, pi]).
  2. Mostre que S contém as funções sen(n x) e cos (n x) para todo n=2,3,4, ldots
  3. Mostre que S tem dimensão infinita.
Seja T: C([-pi, pi]) C([-pi, pi]) dado por
T(f)(x)=integral-pi^pi1+cos (x-t) f(t) d t
  1. Mostre que a imagem de T tem dimensão finita. Ache uma base da imagem de T.
  2. Determine o núcleo de T.
  3. Ache todos os c neq 0 e todos os f neq 0 tais que T(f)=c f.
    Exercício 5. (Apostol seção 2.4 exercício 29)

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial C([-pi,pi]) de funções contínuas reais em [-pi,pi].
Definimos o subconjunto
S=lfin C([-pi,pi])mid integral-pi^pif(t),dt=0,;integral-pi^pif(t)sin t,dt=0,;integral-pi^pif(t)cos t,dt=0r
Precisamos mostrar que
  1. S é subespaço;
  2. sin(nx) e cos(nx), n>=2, estão em S;
  3. S tem dimensão infinita;
    depois, com o operador
T: C([-pi,pi])to C([-pi,pi]), T(f)(x)=integral-pi^pil[1+cos(x-t)r],f(t),dt,
  1. mostrar diml(Im,Tr)<infty e achar base de Im,T;
  2. determinar ker T;
  3. encontrar todos os autovalores cneq0 e autovetores fneq0 tais que T(f)=c,f.

Passo 2

Para mostrar que S é subespaço, note que as aplicações
L0(f)=integral-pi^pif(t),dt, L1(f)=integral-pi^pif(t)sin t,dt, L2(f)=integral-pi^pif(t)cos t,dt
são funcionais lineares em C([-pi,pi]). Então
S=ker L0;cap;ker L1;cap;ker L2
é interseção de subespaços (kernels), logo é subespaço.

Passo 3

Para n>=2 e f(x)=sin(nx), usamos ortogonalidade de senos e cossenos em [-pi,pi]:
integral-pi^pisin(nx),dx=0, integral-pi^pisin(nx)sin x,dx=0;(pois nneq1), integral-pi^pisin(nx)cos x,dx=0
O mesmo vale para f(x)=cos(nx):
integral-pi^picos(nx),dx=0, integral-pi^picos(nx)sin x,dx=0, integral-pi^picos(nx)cos x,dx=0;(pois nneq1)
Logo sin(nx),cos(nx)in S.

Passo 4

As funções sin(nx),cos(nx)mid n=2,3,dots são infinitamente muitas e linearmente independentes em C([-pi,pi]). Como todas estão em S, concluímos dim S=infty.

Passo 5

Expandindo cos(x-t)=cos xcos t+sin xsin t, temos
T(f)(x) =integral-pi^pif(t),dt +cos xintegral-pi^pif(t)cos t,dt +sin xintegral-pi^pif(t)sin t,dt
Assim T(f) é combinação linear de 1,cos x,sin x. Logo
Im,Tsubseteqspan1,cos x,sin x, e dim(Im,T)<=3.
Para ver que a dimensão é exatamente 3, basta notar que
T(1)=2pi, T(cos t)=picos x, T(sin t)=pisin x,
logo 1,cos x,sin xinIm,T e são LI.
Portanto
dim(Im,T)=3, base =1,cos x,sin x

Passo 6

Para ter T(f)=0 identicamente, os três coeficientes acima devem ser nulos:
integral-pi^pif(t),dt=0, integral-pi^pif(t)cos t,dt=0, integral-pi^pif(t)sin t,dt=0
Isso é exatamente a definição de S. Logo
ker T=S

Passo 7

Buscamos fneq0 e cneq0 tais que T(f)=c,f. Como T anula a parte em ker T, todo autovetor não-nulo deve estar em Im,T, isto é
f(x)=a+bcos x+dsin x
Calculemos
T(f)(x) =2pi a+pi bcos x+pi dsin x =pil(2a+bcos x+dsin xr)
Igualando a c,f(x)=c(a+bcos x+dsin x), obtemos o sistema de coeficientes:
2pi a=c a, pi b=c b, pi d=c d
Dessas equações surgem duas possibilidades não-triviais:
  • Se c=2pi, então b=d=0 e aneq0. Ou seja, constantes são autovetores com autovalor 2pi.
  • Se c=pi, então a=0 e pelo menos um de b,d é não-nulo. Ou seja, funções da forma bcos x+dsin x são autovetores com autovalor pi.

Resposta

  1. S é subespaço pois é interseção de kernels de funcionais lineares.
  2. Para n>=2, sin(nx) e cos(nx) satisfazem as três condições de ortogonalidade e pertencem a S.
  3. S é infinito–dimensional, pois contém o conjunto infinito de funções LI sin(nx),cos(nx)mid n>=2.
  4. dim(Im,T)=3, base 1,cos x,sin x.
  5. ker T=S.
  6. Autovalores não-nulos:
    ;c=2pi com autovetores constantes f(x)=aneq0,
    ;c=pi com autovetores f(x)=bcos x+dsin x, (b,d)neq(0,0).

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