- Seja
.
(a) Determine os intervalos onde
é crescente ou decrescente.
(b) Determine os intervalos onde
é côncava para cima e para baixo.
(c) Encontre as assíntotas de
, caso existam.
(d) Esboce o gráfico de
.
(a) Determine os intervalos onde
(b) Determine os intervalos onde
(c) Encontre as assíntotas de
(d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) intervalos de crescimento/decrescimento (derivada primeira);
(b) intervalos de concavidade (derivada segunda);
(c) assíntotas;
(d) esboço do gráfico.
Vamos usar cálculo de derivadas e limites.
(a) intervalos de crescimento/decrescimento (derivada primeira);
(b) intervalos de concavidade (derivada segunda);
(c) assíntotas;
(d) esboço do gráfico.
Vamos usar cálculo de derivadas e limites.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira via quociente ou produto com
. É mais simples escrever
então
Passo 3
Como
para todo
, o sinal de
vem de
. Logo:
-
se , i.e.\ . -
se ou .
Portanto:
(a)é crescente em e decrescente em .
Passo 4
Agora a derivada segunda:
Passo 5
De novo
, então o sinal de
é o de
Logo:
(b) é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Há pontos de inflexão em
.
(b)
Passo 6
Procuramos assíntotas:
- Não há assíntota vertical, pois
. -
, então existe assíntota horizontal . -
, sem assíntota adicional.
Passo 7
Para esboçar o gráfico:
-
. Como em , a curva vem de (quando ) e decresce até . - Em
temos e , é máximo local. - Para
a função decresce e tende a pelo lado positivo, aproximando-se da assíntota . - As regiões de concavidade definem o formato “mais arqueado” antes e depois de
.
Resposta
(a) Crescente em
, decrescente em
.
(b) Côncava para cima em , côncava para baixo em
.
(c) Assíntota horizontal ; não há assíntota vertical.
(d) Gráfico: curva positiva que decresce de até
, cresce até o pico
e depois decresce aproximando-se de
, com mudança de concavidade em
.
(b) Côncava para cima em
(c) Assíntota horizontal
(d) Gráfico: curva positiva que decresce de