1. Seja f(x)=x^2e^x, com x in R.
    (a) Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.
    (b) Determine os intervalos onde f é côncava para cima e para baixo.
    (c) Encontre as assíntotas de f, caso existam.
    (d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2e^x, xinR,
e pede:
(a) intervalos de crescimento/decrescimento (derivada primeira);
(b) intervalos de concavidade (derivada segunda);
(c) assíntotas;
(d) esboço do gráfico.
Vamos usar cálculo de derivadas e limites.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira via quociente ou produto com e^-x. É mais simples escrever
f(x)=x^2e^-x
então
f'(x)=ddxl(x^2r),e^-x+x^2,ddxl(e^-xr) =(2x)e^-x+x^2(-e^-x) =(2x - x^2),e^-x

Passo 3

Como e^-x>0 para todo x, o sinal de f'(x) vem de 2x - x^2=x(2-x). Logo:
  • f'(x)>0 se x(2-x)>0, i.e.\ 0<x<2.
  • f'(x)<0 se x<0 ou x>2.
    Portanto:
    (a) f é crescente em (0,2) e decrescente em (- infty,0)cup(2,infty).

Passo 4

Agora a derivada segunda:
f'(x)=(2x - x^2),e^-x,
f''(x)=ddx(2x - x^2),e^-x=(2 - 2x)e^-x+(2x - x^2)(-e^-x) =l(2 - 2x -2x + x^2r)e^-x =(x^2-4x+2),e^-x

Passo 5

De novo e^-x>0, então o sinal de f''(x) é o de
x^2-4x+2=0Longrightarrow x=2pmraiz2
Logo:
(b) f é côncava para cima em (-infty,2-raiz2)cup(2+raiz2,infty) e côncava para baixo em (2-raiz2,,2+raiz2). Há pontos de inflexão em x=2pmraiz2.

Passo 6

Procuramos assíntotas:
  • Não há assíntota vertical, pois e^xneq0.
  • limxto+inftyf(x)=limxto+inftyx^2e^-x=0, então existe assíntota horizontal y=0.
  • limxto-inftyf(x)=limxto-inftyx^2e^-x=+infty, sem assíntota adicional.

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
  • f(0)=0. Como f'(x)<0 em x<0, a curva vem de +infty (quando xto-infty) e decresce até (0,0).
  • Em x=2 temos f'(2)=0 e f(2)=4/e^2, é máximo local.
  • Para x>2 a função decresce e tende a 0 pelo lado positivo, aproximando-se da assíntota y=0.
  • As regiões de concavidade definem o formato “mais arqueado” antes e depois de 2pmraiz2.

Resposta

(a) Crescente em (0,2), decrescente em (-infty,0)cup(2,infty).
(b) Côncava para cima em (-infty,2-raiz2)cup(2+raiz2,infty), côncava para baixo em (2-raiz2,2+raiz2).
(c) Assíntota horizontal y=0; não há assíntota vertical.
(d) Gráfico: curva positiva que decresce de +infty até (0,0), cresce até o pico l(2,4/e^2r) e depois decresce aproximando-se de y=0, com mudança de concavidade em x=2pmraiz2.

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