Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime prime+x^-2 y^prime-x^-3 y=x^-2 ln x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y^primeprimeprime+x^-2y'-x^-3y=x^-2ln x
usando o Método de Variação dos Parâmetros (MVP). Como a equação tem coeficientes variáveis, vamos transformar em uma equação a coeficientes constantes pela troca de variável
x=e^t, y(x)=Y(t),
e depois aplicar Coeficientes Indeterminados para encontrar uma particular.

Passo 2

Fazendo x=e^t e y(x)=Y(t), calculamos
y'=Y'x, y''=Y''-Y'x^2, y'''=Y'''-3Y''+2Y'x^3
Substituindo em
x^3y'''+x,y'-y=xln x
(que é equivalente à original multiplicada por x^3), obtemos a EDO em t:
Y'''-3Y''+3Y'-Y=e^t,t
Note que o operador linear homogêneo é (D-1)^3.

Passo 3

A parte homogênea (D-1)^3Y=0 tem solução
Yh(t)=(C1+C2 t+C3 t^2)e^t
Voltando a x (lembre-se t=ln x), obtemos
yh(x)=xl(C1+C2ln x+C3(ln x)^2r)

Passo 4

Para achar uma particular Yp de
(D-1)^3Y=e^t,t,
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o RHS é e^t vezes um polinômio de grau 1 e o pólo r=1 tem multiplicidade 3, propomos
Yp(t)=e^t,P(t) com P(t)=A,t^4+B,t^3
Como (D-1)^3l(e^tP(t)r)=e^tP^(3)(t), exigimos
P^(3)(t)=t
Calculando
P'(t)=4A,t^3+3B,t^2, P''(t)=12A,t^2+6B,t, P'''(t)=24A,t+6B,
temos a condição
24A,t+6B=t Longrightarrow A=tfrac124,;B=0
Logo
Yp(t)=124e^t,t^4

Passo 5

Voltando a x, t=ln x e e^t=x, a solução particular é
yp(x)=tfrac124,x,(ln x)^4
Assim, a solução geral da EDO é
y(x)=yh(x)+yp(x) =xl(C1+C2ln x+C3(ln x)^2r)+124,x,(ln x)^4

Resposta

boxedy(x) =xl(C1+C2ln x+C3(ln x)^2r) +124,x,(ln x)^4

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