Dada a função f(x)cx^2-1 ; x<-2 x-x^3 ;-2 <= x <= 2 x^2x+1 ; x>2
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Domínio

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função que é definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de . O domínio é basicamente todos os valores de que fazem a função funcionar direitinho, sem causar problemas como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo, por exemplo. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e ver quais valores de são permitidos em cada caso.

Passo 2

Primeira parte da função: quando .
Aqui, a gente tem um polinômio simples. Polinômios são funções que estão bem definidas para todos os números reais. Então, para essa parte, qualquer menor que -2 está ok. Não tem restrições.

Passo 3

Segunda parte da função: quando .
Mais um polinômio! Assim como a primeira parte, esta expressão também está definida para todos os números reais. A única restrição vem dos limites que já estão definidos no enunciado: precisa estar entre -2 e 2, inclusive. Então, nessa faixa, tudo certo.

Passo 4

Terceira parte da função: quando .
Aqui, temos uma fração, e o que a gente precisa evitar é dividir por zero, porque isso não existe. Então, vamos olhar para o denominador: . Igualando a zero: . Mas, olha só, essa parte da função só vale para . Como não está na faixa de , a expressão está bem definida para todos os nessa faixa. Então, não tem problema aqui.

Passo 5

Agora que analisamos todas as partes da função, vamos juntar os resultados:
  • Para , tudo certo.
  • Para , está ok.
  • Para , também está tudo bem.
Não tem nenhum valor de que cause problema na função, então o domínio é todos os números reais.

Resposta

O domínio da função é (todos os números reais).

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