Calcule a integral
, onde
é a região delimitada pelo círculo
, abaixo da reta
e acima da reta
, colocando-a em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
. O problema está no cálculo dessa integral sobre a região
, que é o conjunto de pontos dentro do círculo
, abaixo da reta
e acima da reta
. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares. Vamos precisar converter tanto a função integranda quanto os limites da região para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas
para polares
:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Agora, vamos substituir
e
na função
:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. A região
está dentro do círculo
, que em coordenadas polares é:
Então,
varia de 0 até
.
Para
, a região está abaixo de
e acima de
:
- A reta
corresponde a e . - A reta
corresponde a , já que .
Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral em coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Calculando as integrais:
Substituindo
:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Separando as integrais:
Calculando cada uma:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Convertendo tudo para oitavos:
Resposta
A integral dupla vale
.