[2 pontos] Calcule a integral integral duplaR(2 x-y^2) d A, onde R é a região delimitada pelo círculo x^2+y^2=2, abaixo da reta y=0 e acima da reta y=-x, colocando-a em coordenadas polares. ^-

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla . O problema está no cálculo dessa integral sobre a região , que é o conjunto de pontos dentro do círculo , abaixo da reta e acima da reta . Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares. Vamos precisar converter tanto a função integranda quanto os limites da região para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas x = r costheta para polares y = r sintheta :
dA = r , dr , dtheta
2x - y^2 = 2(r costheta) - (r sintheta)^2 = 2r costheta - r^2 sin^2theta
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Agora, vamos substituir e na função :

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r^2 = 2 implies r = raiz2 e . A região está dentro do círculo , que em coordenadas polares é:
Então, varia de 0 até .
Para , a região está abaixo de e acima de :
  • A reta corresponde a e .
  • A reta corresponde a , já que .
Portanto, varia de a .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral em coordenadas polares:
integral duplaR(2x - y^2) dA = integraltheta = 3pi4^pi integralr = 0^raiz2 (2r costheta - r^2 sin^2theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
= integral3pi4^pi integral0^raiz2 (2r^2 costheta - r^3 sin^2theta) dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz2 (2r^2 costheta - r^3 sin^2theta) dr = 2 costheta integral0^raiz2 r^2 dr - sin^2theta integral0^raiz2 r^3 dr primeiro:
= 2 costheta [r^33]0^raiz2 - sin^2theta [r^44]0^raiz2
Calculando as integrais:
= 2 costheta ((raiz2)^33) - sin^2theta ((raiz2)^44)
Substituindo = 2 costheta (2raiz23) - sin^2theta (44) = 4raiz23 costheta - sin^2theta :
integral3pi4^pi (4raiz23 costheta - sin^2theta) dtheta
Simplificando:
= 4raiz23 integral3pi4^pi costheta , dtheta - integral3pi4^pi sin^2theta , dtheta
Agora, integramos em relação a = 4raiz23 [sintheta]3pi4^pi - [theta2 - sin(2theta)4]3pi4^pi :
= 4raiz23 (0 - raiz22) - (pi2 - sin(2pi)4 - (3pi8 - sin(3pi2)4))
Separando as integrais:
= 4raiz23 (-raiz22) - (pi2 - 0 - 3pi8 - (-14))
Calculando cada uma:
= -4 cdot 26 - (pi2 - 3pi8 + 14) = -43 - (4pi8 - 3pi8 + 14)
Substituindo os limites:
= -43 - (pi8 + 14) = -43 - pi8 - 14
Simplificando:
= -3224 - 3pi24 - 624 = -32 + 3pi + 624 = -38 + 3pi24
Convertendo tudo para oitavos:

Resposta

A integral dupla vale .

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