Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2 - 1 & se x < -2 x - x^3 & se -2 <= x <= 2 x^2x + 1 & se x > 2
O objetivo é descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo (monotonia) e identificar os pontos de máximo e mínimo (extremos). Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A ideia é calcular a derivada de cada expressão em suas respectivas regiões e ver onde a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 3
Primeira parte: f(x) = x^2 - 1 para x < -2
Vamos derivar essa expressão:
f'(x) = ddx(x^2 - 1) = 2x
Agora, vamos ver o sinal da derivada quando x < -2:
Se x < -2, então 2x é negativo porque multiplicar um número negativo por 2 continua negativo.
Então, nessa região, a função está decrescente.
Passo 4
Segunda parte: f(x) = x - x^3 para -2 <= x <= 2
Derivando:
f'(x) = ddx(x - x^3) = 1 - 3x^2
Vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa: