Dada a função f(x)cx^2-1 ; x<-2 x-x^3 ;-2 <= x <= 2 x^2x+1 ; x>2
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Monotonia e Extremos

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2 - 1 & se x < -2 x - x^3 & se -2 <= x <= 2 x^2x + 1 & se x > 2
O objetivo é descobrir onde essa função está aumentando ou diminuindo (monotonia) e identificar os pontos de máximo e mínimo (extremos). Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente. A ideia é calcular a derivada de cada expressão em suas respectivas regiões e ver onde a derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 3

Primeira parte: f(x) = x^2 - 1 para x < -2
Vamos derivar essa expressão:
f'(x) = ddx(x^2 - 1) = 2x
Agora, vamos ver o sinal da derivada quando x < -2:
  • Se x < -2, então 2x é negativo porque multiplicar um número negativo por 2 continua negativo.
Então, nessa região, a função está decrescente.

Passo 4

Segunda parte: f(x) = x - x^3 para -2 <= x <= 2
Derivando:
f'(x) = ddx(x - x^3) = 1 - 3x^2
Vamos analisar onde essa derivada é positiva ou negativa:
1 - 3x^2 > 0 Rightarrow 3x^2 < 1 Rightarrow x^2 < 13 Rightarrow -1raiz3 < x < 1raiz3
Então:
  • Crescente quando -1raiz3 < x < 1raiz3
  • Decrescente quando x < -1raiz3 ou x > 1raiz3

Passo 5

Terceira parte: f(x) = x^2x + 1 para x > 2
Vamos derivar usando a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(x + 1) - x^2(1)(x + 1)^2 = 2x(x + 1) - x^2(x + 1)^2 = 2x^2 + 2x - x^2(x + 1)^2 = x^2 + 2x(x + 1)^2
Fatorando o numerador:
f'(x) = x(x + 2)(x + 1)^2
Vamos analisar o sinal da derivada para x > 2:
  • O denominador (x + 1)^2 é sempre positivo.
  • O numerador x(x + 2) para x > 2 também é positivo porque ambos os fatores são positivos.
Então, nessa região, a função está sempre crescente.

Passo 6

Identificando os Extremos
Os pontos onde a derivada muda de sinal são candidatos a máximos ou mínimos.
  • No ponto x = -1raiz3:
    • A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo.
  • No ponto x = 1raiz3:
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo.
Além disso, precisamos verificar as pontas das regiões:
  • Em x = -2 e x = 2:
    • Analisar a continuidade e o comportamento ao redor desses pontos para confirmar se há extremos.

Resposta

A função f(x) é:
  • Decrescente para x < -2
  • Crescente no intervalo -1raiz3 < x < 1raiz3
  • Decrescente no intervalo x < -1raiz3 e x > 1raiz3 (dentro de -2 <= x <= 2)
  • Sempre crescente para x > 2
Quanto aos extremos:
  • Máximo local em x = -1raiz3
  • Mínimo local em x = 1raiz3

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