l4^raiz27 x16-2^raiz3 x4=60 x in R Rightarrow x=?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui envolve resolver uma equação exponencial:
4^raiz27x16 - 2^raiz3x4 = 60
O conteúdo principal aqui é equações exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e fazer algumas substituições para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 4 pode ser escrito como 2^2. Isso é super útil porque já temos outra potência de 2 na equação. Então, vamos reescrever 4^raiz27x16 como (2^2)^raiz27x16.

Passo 3

Usando a propriedade das potências (a^b)^c = a^b cdot c, podemos simplificar:
(2^2)^raiz27x16 = 2^2 cdot raiz27x16
Então, a equação fica:
2^2 cdot raiz27x16 - 2^raiz3x4 = 60

Passo 4

Agora, vamos simplificar as raízes quadradas para facilitar. Vamos resolver raiz27x16 e raiz3x4:
raiz27x16 = raiz27xraiz16 = 3raiz3x4
raiz3x4 = raiz3x2
Substituindo de volta na equação, temos:
2^2 cdot 3raiz3x4 - 2^raiz3x2 = 60
Que simplifica para:
2^3raiz3x2 - 2^raiz3x2 = 60

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para deixar a equação mais simples. Vamos chamar y = 2^raiz3x2. Assim, temos:
y^3 - y = 60

Passo 6

Agora, temos uma equação polinomial:
y^3 - y - 60 = 0
Vamos tentar encontrar um valor real que satisfaça essa equação. Testando y = 4:
4^3 - 4 - 60 = 64 - 4 - 60 = 0
Então, y = 4 é uma solução.

Passo 7

Agora que sabemos que y = 4, vamos lembrar que y = 2^raiz3x2. Então:
2^raiz3x2 = 4
Como 4 = 2^2, podemos escrever:
2^raiz3x2 = 2^2

Passo 8

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
raiz3x2 = 2
Multiplicando ambos os lados por 2:
raiz3x = 4

Passo 9

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
3x = 16
Dividindo ambos os lados por 3:
x = 163

Resposta

x = 163

Exercícios relacionados