Para quais valores de x, com |x|>1, os pontos (x^4, 1),(-3 x^2, 1),(-2,2) e (0,0) do plano formam um paralelogramo?
Escolha uma opp̧ăo:
a. pm 32.
b. -2 e 3;
c. Nenhum valor real;
d. pm raiz2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os valores de , onde , que fazem com que os pontos , , e formem um paralelogramo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar se quatro pontos formam um paralelogramo verificando se os vetores que representam os lados opostos são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um paralelogramo tem lados opostos iguais e paralelos. Isso significa que os vetores que representam os lados opostos devem ser iguais. Então, vamos identificar os vetores entre os pontos dados.
Vamos nomear os pontos:

Passo 3

Agora, vamos calcular os vetores dos lados:
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor

Passo 4

Para que (-3x^2 - x^4, 0) = (-2, 2) seja um paralelogramo, os vetores opostos devem ser iguais:
  1. -3x^2 - x^4 = -2 e 0 = 2
    (-x^4, -1) = (-3x^2 + 2, -1)
    Isso nos dá as equações:
    -x^4 = -3x^2 + 2 e -1 = -1
    A segunda equação -x^4 + 3x^2 - 2 = 0 x^4 - 3x^2 + 2 = 0 não é verdadeira, então essa condição não se aplica.
  2. x^4 - 3x^2 + 2 = 0 Substituindo y = x^2: y^2 - 3y + 2 = 0
    y = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
    Isso nos dá:
    y = 2 ou y = 1
    A segunda parte já está ok, então focamos na primeira:
    x^2 = 2 Rightarrow x = pm raiz2 x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
    Vamos resolver essa equação quadrática em :
    Resolvendo a equação quadrática:
    Então,
    Voltando para :
    Mas lembrando que , descartamos .

Resposta

A alternativa correta é a d. .

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