Dada a função f(x, y)=x^2+y^2 se x^2+y^2 <= 1 e f(x, y)=0 se x^2+y^2>1, faça um esboço do gráfico de f e determine em que pontos f é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função em duas “regiões”: dentro e fora do disco unitário, e pede pra esboçar o gráfico e estudar continuidade, que é o tópico de limites e continuidade em $(x,y)$. Vamos usar a definição de continuidade: (x,y).

Passo 2

Para esboçar o gráfico note que dentro do disco , que é uma parte de parábola (bowl) cujo ponto mais alto no limite de z=1 é $z=1$. Fora do disco, z=0, que é o plano horizontal $z=0$. Então o gráfico parece um “bowl” subindo de $z=0$ no centro até $z=1$ na circunferência, e salta pra $z=0$ logo fora.

Passo 3

Se $(x_0,y_0)$ está no interior do disco, isto é $x_02+y_02<1$, então numa vizinhança de $(x_0,y_0)$ vale sempre (x0,y0), que é polinomial. Polinômios são contínuos, logo x0^2+y0^2<1 é contínua em todo ponto com $x2+y2<1$.

Passo 4

Se $(x_0,y_0)$ está fora do disco, isto é $x_02+y_02>1$, então numa vizinhança de $(x_0,y_0)$ vale sempre (x0,y0), constante. Função constante também é contínua, logo x0^2+y0^2>1 é contínua em todo ponto com $x2+y2>1$.

Passo 5

Para $(x_0,y_0)$ na fronteira, $x_02+y_02=1$, temos (x0,y0). Se aproximamos de dentro do disco, o limite de x0^2+y0^2=1 tende a $1$, mas se aproximamos de fora, 1 tende a $0$. Como os limites laterais não coincidem (nem com o valor da função), não há continuidade nessa fronteira.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2<1 e em todos os pontos com x^2+y^2>1, e é descontínua em todos os pontos da circunferência x^2+y^2=1.

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