Dada a função
se
e
se
, faça um esboço do gráfico de
e determine em que pontos
é contínua.
Passo 1
O enunciado define a função em duas “regiões”: dentro e fora do disco unitário, e pede pra esboçar o gráfico e estudar continuidade, que é o tópico de limites e continuidade em $(x,y)$. Vamos usar a definição de continuidade:
.
Passo 2
Para esboçar o gráfico note que dentro do disco , que é uma parte de parábola (bowl) cujo ponto mais alto no limite de
é $z=1$. Fora do disco,
, que é o plano horizontal $z=0$. Então o gráfico parece um “bowl” subindo de $z=0$ no centro até $z=1$ na circunferência, e salta pra $z=0$ logo fora.
Passo 3
Se $(x_0,y_0)$ está no interior do disco, isto é $x_02+y_02<1$, então numa vizinhança de $(x_0,y_0)$ vale sempre
, que é polinomial. Polinômios são contínuos, logo
é contínua em todo ponto com $x2+y2<1$.
Passo 4
Se $(x_0,y_0)$ está fora do disco, isto é $x_02+y_02>1$, então numa vizinhança de $(x_0,y_0)$ vale sempre
, constante. Função constante também é contínua, logo
é contínua em todo ponto com $x2+y2>1$.
Passo 5
Para $(x_0,y_0)$ na fronteira, $x_02+y_02=1$, temos
. Se aproximamos de dentro do disco, o limite de
tende a $1$, mas se aproximamos de fora,
tende a $0$. Como os limites laterais não coincidem (nem com o valor da função), não há continuidade nessa fronteira.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos com
e em todos os pontos com
, e é descontínua em todos os pontos da circunferência
.