Uma lâmina com densidade constante
ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia
e
e os raios de giração
.
O triângulo com vértices
e
O triângulo com vértices
Passo 1
O enunciado pede para calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados de uma lâmina triangular de densidade constante
com vértices em
,
e
, e depois encontrar os raios de giração. Vamos usar definição de momento de inércia como integral dupla sobre a área e depois
,
.
Passo 2
Escrevemos o momento de inércia em relação ao eixo
como
. A região é descrita por
e
. Assim,
Passo 3
Fazendo a integral em
e depois em
:
Passo 4
Analogamente,
Passo 5
A massa da lâmina é
. Os raios de giração são dados por
e
. Substituindo:
Resposta
I_{x}=\frac{\rho b h^{3}}{12},\quad I_{y}=\frac{\rho b^{3} h}{12},\quad \bar x=\frac{b}{\sqrt{6}},\quad \bar y=\frac{h}{\sqrt{6}}