Uma lâmina com densidade constante rho(x, y)=rho ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia Ix e ly e os raios de giração barx e bary.
O triângulo com vértices (0,0),(b, 0) e (0, h)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados de uma lâmina triangular de densidade constante rho com vértices em (0,0), (b,0) e (0,h), e depois encontrar os raios de giração. Vamos usar definição de momento de inércia como integral dupla sobre a área e depois bar x=raizIy/m, bar y=raizIx/m.

Passo 2

Escrevemos o momento de inércia em relação ao eixo x como Ix=integral duplaAy^2,rho,dA. A região é descrita por 0<= x<= b e 0<= y<= hl(1-tfracxbr). Assim,
Ix=rhointegralx=0^bintegraly=0^h(1-tfracxb)y^2,dy,dx

Passo 3

Fazendo a integral em y e depois em x:
integral0^h(1-tfracxb)y^2dy=[h(1-tfracxb)]^33, Ix=rho3integral0^b[h(1-tfracxb)]^3dx=rho b h^312

Passo 4

Analogamente,
Iy=rhointegral duplaAx^2dA=rhointegraly=0^hintegralx=0^b(1-tfracyh)x^2dx,dy=rho b^3h12

Passo 5

A massa da lâmina é m=rhotimestfrac12bh=tfracrho bh2. Os raios de giração são dados por bar x=raizIy/m e bar y=raizIx/m. Substituindo:
bar x=raizrho b^3h/12rho bh/2=braiz6,bar y=raizrho b h^3/12rho bh/2=hraiz6

Resposta

I_{x}=\frac{\rho b h^{3}}{12},\quad I_{y}=\frac{\rho b^{3} h}{12},\quad \bar x=\frac{b}{\sqrt{6}},\quad \bar y=\frac{h}{\sqrt{6}}

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