Dada a função
; de variável real:
Calcule a sua segunda derivada e apresente na forma irreductível (0,75)
Calcule a sua segunda derivada e apresente na forma irreductível (0,75)
Passo 1
O enunciado dá a função de variável real
. O conteúdo envolve derivadas de funções racionais, então vamos usar a regra do quociente duas vezes e simplificar algebricamente.
Passo 2
Primeiro, identifique o numerador
e o denominador
. Suas derivadas são
e
. Pela regra do quociente:
Agora simplifique o numerador:
Passo 3
Ao expandir e combinar termos, o numerador vira
subtraindo-se temos
Logo
Passo 4
Para achar
, aplique de novo a regra do quociente a
. Aqui o numerador é
e o denominador é
. Suas derivadas são
e, usando a cadeia,
Então
Passo 5
Fatorando
em evidência e simplificando com a potência no denominador, define-se
Ao expandir e coletar termos, obtemos
Como ((4x - x{2}){4} = (4x - x^{2})\cdot(4x - x{2}){3},]
á segunda derivada fica
á segunda derivada fica
Passo 6
Verificamos que o numerador e o denominador não têm fatores comuns (os zeros do denominador são
e
, não anulam
), então a forma acima já é irreductível.