Dada a função y=3+x^24 x-x^2; de variável real:
Calcule a sua segunda derivada e apresente na forma irreductível (0,75)

Passo 1

O enunciado dá a função de variável real y=3+x^24x - x^2. O conteúdo envolve derivadas de funções racionais, então vamos usar a regra do quociente duas vezes e simplificar algebricamente.

Passo 2

Primeiro, identifique o numerador N(x)=x^2+3 e o denominador D(x)=4x - x^2. Suas derivadas são N'(x)=2x e D'(x)=4 - 2x. Pela regra do quociente:
y' = N',D - N,D'D^2 = 2x(4x - x^2) - (x^2+3)(4 - 2x)(4x - x^2)^2
Agora simplifique o numerador:

Passo 3

Ao expandir e combinar termos, o numerador vira
2x(4x - x^2) = 8x^2 - 2x^3,
(x^2+3)(4 - 2x) = -2x^3 + 4x^2 - 6x + 12,
subtraindo-se temos
8x^2 - 2x^3 - (-2x^3 +4x^2 -6x +12) = 4x^2 +6x -12
Logo
y' = 4x^2 +6x -12(4x - x^2)^2

Passo 4

Para achar y'', aplique de novo a regra do quociente a y'. Aqui o numerador é M(x)=4x^2+6x-12 e o denominador é D(x)^2=(4x - x^2)^2. Suas derivadas são M'(x)=8x+6 e, usando a cadeia,
l(D^2r)' = 2D,D' = 2(4x - x^2)(4 - 2x)
Então
y'' = M',D^2 - M,(D^2)'(D^2)^2 = (8x+6)(4x - x^2)^2 - (4x^2+6x-12)cdot2(4x - x^2)(4 - 2x)(4x - x^2)^4

Passo 5

Fatorando (4x - x^2) em evidência e simplificando com a potência no denominador, define-se
Q(x) = (8x+6)(4x - x^2) - 2(4x^2+6x-12)(4 - 2x)
Ao expandir e coletar termos, obtemos
Q(x) = 8x^3 +18x^2 -72x +96
Como ((4x - x{2}){4} = (4x - x^{2})\cdot(4x - x{2}){3},]
á segunda derivada fica
y'' = Q(x)(4x - x^2)^3

Passo 6

Verificamos que o numerador e o denominador não têm fatores comuns (os zeros do denominador são x=0 e x=4, não anulam Q(x)), então a forma acima já é irreductível.

Resposta

y''=8x^3+18x^2-72x+96(4x - x^2)^3

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