integral0^1 integral0^2 x^2(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais duplas. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que estamos integrando. No enunciado, está escrito integral0^1 integral0^2 x^2 (x + y) , dy , dx , que provavelmente significa . Então, nossa integral fica:
Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a de 0 até , e depois em relação a de 0 até 1.

Passo 3

Vamos começar pela integral interna, que é em relação a integral0^2 x^2 (x + y) , dy :
integral (x + y) , dy = x y + 12 y^2
Para integrar x (2x^2) + 12 (2x^2)^2 - ( x cdot 0 + 12 cdot 0^2 ) = 2x^3 + 12 cdot 4x^4 = 2x^3 + 2x^4 em relação a , tratamos como uma constante. A antiderivada de em relação a é , e a antiderivada de é . Então, temos:
Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a :

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
integral0^1 (2x^3 + 2x^4) , dx
Vamos integrar termo a termo. A antiderivada de 12x^4 + 25x^5 é ( 12(1)^4 + 25(1)^5 ) - ( 12(0)^4 + 25(0)^5 ) = 12 + 25 = 510 + 410 = 910 , e a antiderivada de é . Então:
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

A integral dupla vale .

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