Determine os raios de convergência de cada série a seguir e mostre que vale a seguinte relação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos os raios de convergência de algumas séries e depois mostrar uma relação entre elas. O conteúdo principal aqui é séries de potências e o raio de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a encontrar até onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série principal que temos:
Queremos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que basicamente nos ajuda a ver para quais valores de $ z $ a série vai “funcionar” ou seja, convergir.
Passo 3
Aplicando o teste da razão, calculamos o limite:
Onde:
Vamos calcular:
Então:
Passo 4
Como o limite $ L = 0 $ é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para todo valor de $ z $. Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Passo 5
Agora, vamos verificar a relação dada no exercício:
Aqui, parece que $ z = x + iy $. A relação mostra uma decomposição em partes reais e imaginárias usando séries de potências.
Passo 6
Cada uma das séries no lado direito também tem um raio de convergência infinito, já que, aplicando o mesmo teste da razão, vemos que os limites também serão zero para cada uma delas. Portanto, a multiplicação dessas séries não afeta a convergência.
Resposta
O raio de convergência de todas as séries envolvidas é infinito.