Determine os raios de convergência de cada série a seguir e mostre que vale a seguinte relação:
sumn=0^infty (-1)^n z^2 n+1(2 n+1)!=(sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!)(sumn=0^infty y^2 n(2 n)!)+i(sumn=0^infty (-1)^n x^(2 n)(2 n)!)(sumn=0^infty y^2 n+1(2 n+1)!)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos os raios de convergência de algumas séries e depois mostrar uma relação entre elas. O conteúdo principal aqui é séries de potências e o raio de convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste da razão, que ajuda a encontrar até onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série principal que temos:
sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)!
Queremos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que basicamente nos ajuda a ver para quais valores de $ z $ a série vai “funcionar” ou seja, convergir.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde:
an = (-1)^n z^2n+1(2n+1)!
Vamos calcular:
Então:
an+1an = (-1)^n+1 z^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! cdot (2n+1)!(-1)^n z^2n+1 = -z^2(2n+3)(2n+2)

Passo 4

Como o limite $ L = 0 $ é menor que 1, pelo teste da razão, a série converge para todo valor de $ z $. Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Passo 5

Agora, vamos verificar a relação dada no exercício:
sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)! = (sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!)(sumn=0^infty y^2n(2n)!) + i(sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!)(sumn=0^infty y^2n+1(2n+1)!)
Aqui, parece que $ z = x + iy $. A relação mostra uma decomposição em partes reais e imaginárias usando séries de potências.

Passo 6

Cada uma das séries no lado direito também tem um raio de convergência infinito, já que, aplicando o mesmo teste da razão, vemos que os limites também serão zero para cada uma delas. Portanto, a multiplicação dessas séries não afeta a convergência.

Resposta

O raio de convergência de todas as séries envolvidas é infinito.

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