Determine os valores que os parâmetros reais a e b deve tomar para que 2 x^3-5 a x^2- 3 b x+1 seja divisivel por x+2 e que dividindo por x-2 dề resto 7. ( 2 v)

Passo 1

O problema dá o polinômio P(x)=2x^3-5a x^2-3b x+1 e pede que ele seja divisível por x+2 (ou seja, resto zero em x=-2) e que em x=2 o resto seja 7. Vamos usar o Teorema do Resto.

Passo 2

Para a divisibilidade por x+2, calculamos P(-2)=0. Tem-se:
P(-2)=2(-2)^3-5a(-2)^2-3b(-2)+1=-16-20a+6b+1=-15-20a+6b
Igualando a zero resulta
-15-20a+6b=0
Rightarrow6b=15+20a
Rightarrow b=15+20a6

Passo 3

Para o resto em x-2 igual a 7, usamos P(2)=7. Calculamos:
P(2)=2cdot2^3-5acdot2^2-3bcdot2+1=16-20a-6b+1=17-20a-6b
Igualando a 7 dá
17-20a-6b=7
Rightarrow20a+6b=10
Substituindo b=tfrac15+20a6:
20a+6cdot15+20a6=10
20a+15+20a=10
40a+15=10
a=-540=-18

Passo 4

Agora que a=-tfrac18, voltamos em b=tfrac15+20a6:
b=15+20(-1/8)6=15-2.56=12.56=2512

Resposta

a=-tfrac18,;b=tfrac2512

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