Dada a função abaixo:
f(t)=ccc 0 & se & -2<t<-1 -|t| & se & -1<t<1 0 & se & 1<t<2
calcular os coeficientes de Fourier an e bn.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período
e pede os coeficientes de Fourier
,
onde .]

Passo 2

Como f(t) satisfaz f(-t)=f(t) em todo o período (ela é par), segue que
bn=12integral-2^2f(t),sin!l(tfracnpi2tr),dt=0
para todo n.

Passo 3

Para an usamos a paridade para reduzir a integral a [0,2]:
an=12cdot2integral0^2f(t)cos!l(tfracnpi2tr),dt =integral0^2f(t)cos!l(tfracnpi2tr),dt
Mas em [1,2] vale f(t)=0, e em [0,1] vale f(t)=-t. Logo
an=integral0^1(-t),cos!l(tfracnpi2tr),dt =-integral0^1tcos!l(alpha tr),dt,
onde alpha=tfracnpi2.

Passo 4

Para calcular
I=integral0^1tcos(alpha t),dt
fazemos integração por partes com u=t, dv=cos(alpha t),dt. Obtemos
I=l[talphasin(alpha t)r]0^1 -integral0^11alphasin(alpha t),dt =sinalphaalpha -1alphal[-1alphacos(alpha t)r]0^1
Assim
I=sinalphaalpha +1alpha^2l(cosalpha-1r)
Como an=-I e alpha=tfracnpi2, temos

Passo 5

an =-l[sinalphaalpha+cosalpha-1alpha^2r] =-2npisin!l(tfracnpi2r) +4n^2pi^2l(1-cos!l(tfracnpi2r)r)

Resposta

an=-2npi,sin!l(npi2r) +4n^2pi^2l(1-cos!l(tfracnpi2r)r), bn=0

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