Dada a seguinte função periódica:
f(t)=t, se -3<t<3, e f(t+6)=f(t) forall t in R,
determine os coeficientes a0, a3 e b5 de sua série de Fourier.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função periódica de período T=6 definida por
f(t)=t, -3<t<3, f(t+6)=f(t)
Vamos expandi-la em série de Fourier no intervalo simétrico [-3,3]. Usamos as fórmulas clássicas, com L=3:
a0=1Lintegral-L^Lf(t),dt, an=1Lintegral-L^Lf(t)cos!l(npi t/Lr),dt, bn=1Lintegral-L^Lf(t)sin!l(npi t/Lr),dt

Passo 2

Calcular a0.
a0=13integral-3^3t,dt
Como t é função ímpar e o intervalo é simétrico, a integral anula:
a0=0

Passo 3

Calcular a3. Em geral, para qualquer n,
an=13integral-3^3tcos!l(npi t/3r),dt
Aqui t é função ímpar e cos(cdot) é par, logo tcos(npi t/3) é ímpar. Portanto
an=0forall nLongrightarrow a3=0

Passo 4

Calcular b5.
b5=13integral-3^3tsin!l(5pi t/3r),dt
Agora t é ímpar e sin(cdot) é ímpar, logo o produto é par. Podemos escrever
b5=23integral0^3tsin!l(tfrac5pi3tr),dt
Faça integração por partes com
u=t, dv=sin(alpha t),dt, alpha=tfrac5pi3.
Temos
integral tsin(alpha t),dt =-tcos(alpha t)alpha+1alpha^2sin(alpha t)
Avaliando de 0 a 3:
integral0^3tsin(alpha t),dt =l[-tcos(alpha t)alpha+sin(alpha t)alpha^2r]0^3 =-3cos(5pi)alpha =3alpha
Então
b5=23cdot3alpha =2alpha =25pi/3 =65pi

Resposta

a0=0, a3=0, b5= 65pi

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