Questão 1 (2.5 pts) Calcule integral duplaS rot(F) cdot n d S, sendo
F(x, y, z)=(e^x-y) i+(x z+y^2) j+2 y z k
e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2-4 z=0 abaixo do plano X Y

Passo 1

O problema pede para calcular
integral duplaSrot(vec F)cdotvec n,dS
onde vec F(x,y,z)=(e^x-y),vec i+(xz+y^2),vec j+2yz,vec k e S é a parte da esfera
;x^2+y^2+z^2-4z=0Long<=ftrightarrow x^2+y^2+(z-2)^2=4
que fica abaixo do plano z=0.
Conteúdo: teorema de Stokes. Vamos precisar (1) calcular rotvec F e (2) identificar a curva de contorno partial S para aplicar Stokes.

Passo 2

Calculemos rotvec F=nablatimesvec F.
rotvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz e^x-y & xz+y^2 & 2yz
Componentes:
(rotvec F)x =partialy(2yz)-partialz(xz+y^2) =2z - x,
(rotvec F)y =partialz(e^x-y)-partialx(2yz) =0-0=0,
(rotvec F)z =partialx(xz+y^2)-partialy(e^x-y) =z - (-1)=z+1
Logo
rotvec F=(2z - x),vec i + 0,vec j + (z+1),vec k

Passo 3

Pelo teorema de Stokes,
integral duplaSrotvec Fcdotvec n,dS =ointpartial Svec Fcdot dvec r
A curva partial S é a interseção da esfera com o plano z=0. Substituindo em x^2+y^2+(z-2)^2=4 com z=0
x^2+y^2+4=4Longrightarrow x^2+y^2=0,
isto é, apenas o ponto (0,0,0). Esse “contorno” não é uma curva fechada de extensão positiva, logo a integral de linha sobre ele é nula.

Resposta

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