Questão 1 (2.5 pts) Calcule
, sendo
e
é a parte da esfera
abaixo do plano
Passo 1
O problema pede para calcular
onde
e
é a parte da esfera
que fica abaixo do plano
.
Conteúdo: teorema de Stokes. Vamos precisar (1) calcular e (2) identificar a curva de contorno
para aplicar Stokes.
Conteúdo: teorema de Stokes. Vamos precisar (1) calcular
Passo 2
Calculemos
.
Componentes:
(rotvec F)x =partialy(2yz)-partialz(xz+y^2) =2z - x,
(rotvec F)y =partialz(e^x-y)-partialx(2yz) =0-0=0,
(rotvec F)z =partialx(xz+y^2)-partialy(e^x-y) =z - (-1)=z+1
Logo
Logo
Passo 3
Pelo teorema de Stokes,
A curva
partial S é a interseção da esfera com o plano
z=0 . Substituindo em
x^2+y^2+(z-2)^2=4 com
z=0 dá
isto é, apenas o ponto
(0,0,0) . Esse “contorno” não é uma curva fechada de extensão positiva, logo a integral de linha sobre ele é nula.