Determine a área da superfície dada por
A parte do plano
que está acima do retângulo
.
A parte do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano $ z = 2 + 3x + 4y $ que está acima do retângulo definido por $ [0,5] \times [1,4] $. Isso envolve calcular a área de uma superfície plana usando cálculo. Vamos precisar usar a fórmula para a área de uma superfície em função de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define o plano: $ f(x, y) = 2 + 3x + 4y $. Para calcular a área da superfície, precisamos das derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície $ A $:
Onde $ D $ é a região do plano $ xy $ sobre a qual estamos calculando a área. No nosso caso, $ D $ é o retângulo $ [0,5] \times [1,4] $.
Passo 4
Vamos calcular o que está dentro da raiz:
Isso significa que a expressão dentro da integral é constante, o que simplifica bastante a conta.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a área do retângulo $ D $:
Como a expressão dentro da integral é constante ($ \sqrt{26} $), a área total da superfície é simplesmente $ \sqrt{26} $ vezes a área de $ D $.
Resposta
A área da superfície é $ 15\sqrt{26} $.