Determine a área da superfície dada por
A parte do plano z=2+3 x+4 y que está acima do retângulo [0,5] times[1,4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano $ z = 2 + 3x + 4y $ que está acima do retângulo definido por $ [0,5] \times [1,4] $. Isso envolve calcular a área de uma superfície plana usando cálculo. Vamos precisar usar a fórmula para a área de uma superfície em função de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define o plano: $ f(x, y) = 2 + 3x + 4y $. Para calcular a área da superfície, precisamos das derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $:
f(x, y) = 2 + 3x + 4y
x

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície $ A $:
A
Onde $ D $ é a região do plano $ xy $ sobre a qual estamos calculando a área. No nosso caso, $ D $ é o retângulo $ [0,5] \times [1,4] $.

Passo 4

Vamos calcular o que está dentro da raiz:
raiz1 + (3)^2 + (4)^2 = raiz1 + 9 + 16 = raiz26
Isso significa que a expressão dentro da integral é constante, o que simplifica bastante a conta.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a área do retângulo $ D $:
D Á
Como a expressão dentro da integral é constante ($ \sqrt{26} $), a área total da superfície é simplesmente $ \sqrt{26} $ vezes a área de $ D $.

Resposta

A área da superfície é $ 15\sqrt{26} $.

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