Dada a função afim
, cujo gráfico passa pelos pontos
e
, sendo assim é correto afirmar que:
a) A função é decrescente para
.
b) A função é crescente para
.
c) A função é decrescente para
.
d) A função é crescente para
.
a) A função é decrescente para
b) A função é crescente para
c) A função é decrescente para
d) A função é crescente para
Passo 1
O enunciado dá a função afim
e diz que o gráfico passa por
e
. Pede-se avaliar quais das afirmações abaixo são corretas (cada alternativa faz uma afirmação do tipo “se … então …”):
a) A função é decrescente para .
b) A função é crescente para .
c) A função é decrescente para .
d) A função é crescente para .
a) A função é decrescente para
b) A função é crescente para
c) A função é decrescente para
d) A função é crescente para
Informações relevantes fornecidas:
- A função é da forma
(reta, coeficiente angular/slope , coeficiente linear ). - Existem dois pontos com abscissas
e e supõe-se . - Cada alternativa estabelece uma implicação lógica sobre crescimento/decrescimento e compara valores em
ou expressões envolvendo .
Passo 2
Entender o que significa “função crescente” e “função decrescente” para uma função afim.
Definições:
- Dizemos que
é crescente se, para quaisquer com , vale . - Dizemos que
é decrescente se, para quaisquer com , vale .
Para a função afim
, o comportamento depende exclusivamente do coeficiente
(a inclinação da reta):
- Se
então é crescente. - Se
então é decrescente. - Se
a função é constante (nem crescente nem decrescente no sentido estrito).
Vou explicar por que: para quaisquer
,
Como
, o sinal de
é o mesmo que o sinal de
. Portanto o sinal de
determina crescimento/decrescimento.
Passo 3
Regra importante sobre multiplicar desigualdades por números:
- Se
e multiplicar ambos os lados por um número positivo , a desigualdade mantém o sentido: . - Se multiplicar por um número negativo
, o sentido da desigualdade se inverte: .
Isto será usado ao comparar
e
quando sabemos o sinal de
.
Passo 4
Análise da alternativa (a).
A alternativa (a) afirma: “A função é decrescente para (x_{2}>x_{1}\Rightarrow f(x_{2})>f(x_{1})”."
Pelo que vimos, se a função é decrescente então
. Para
vale
Aqui
e
, então
. Logo
, isto é
.
A alternativa (a) diz o contrário (
). Portanto (a) é falsa.
Exemplo numérico rápido (para intuir): tome
(decrescente),
. Então
,
. De fato
, não
.)
Passo 5
Análise da alternativa (b).
A alternativa (b) afirma: “A função é crescente para
.”
Se a função é crescente então
. Como
e
, multiplicando a desigualdade
por
mantém o sentido:
Portanto a conclusão correta seria
, não
. A alternativa (b) inverte o sinal e é falsa.
Exemplo numérico:
,
. Então
,
e
, não
.
Passo 6
Análise da alternativa (c).
A alternativa (c) afirma: “A função é decrescente para
.”
Se a função é decrescente então
. Com
e multiplicando por
, o sentido da desigualdade inverte:
Logo a afirmação correta em termos de
e
é
, não
. Portanto (c) também é falsa.
Exemplo numérico:
,
. Então
,
e
, não
.
Passo 7
Análise da alternativa (d).
A alternativa (d) afirma: “A função é crescente para
.”
Se a função é crescente então
. Para
temos, como já mostrado,
logo
, isto é
. A alternativa (d) afirma a desigualdade invertida (
), por isso é falsa.
Exemplo numérico:
(crescente),
.
, e
, não
.
Passo 8
Resumo e conclusão lógica.
Das quatro alternativas:
- (a) falsa (signo invertido para decrescente),
- (b) falsa (signo invertido para crescente),
- (c) falsa (signo invertido ao multiplicar por negativo),
- (d) falsa (signo invertido para crescente).
Portanto nenhuma das alternativas apresentadas está correta.
Resposta
Nenhuma das alternativas está correta.