Dada a função afim f(x)=a x+b, cujo gráfico passa pelos pontos \left(x_{1}, y_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}\right), sendo assim é correto afirmar que:
a) A função é decrescente para x_{2}>x_{1} \Rightarrow f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right).
b) A função é crescente para x_{2}>x_{1} \Rightarrow a x_{2}<a x_{1}.
c) A função é decrescente para x_{2}>x_{1} \Rightarrow a x_{2}>a x_{1}.
d) A função é crescente para x_{2}>x_{1} \Rightarrow a x_{2}+b<a x_{1}+b.

Passo 1

O enunciado dá a função afim f(x)=a x+b e diz que o gráfico passa por \left(x_{1},y_{1}\right) e \left(x_{2},y_{2}\right). Pede-se avaliar quais das afirmações abaixo são corretas (cada alternativa faz uma afirmação do tipo “se … então …”):
a) A função é decrescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right).
b) A função é crescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow a x_{2}<a x_{1}.
c) A função é decrescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow a x_{2}>a x_{1}.
d) A função é crescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow a x_{2}+b<a x_{1}+b.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é da forma f(x)=a x+b (reta, coeficiente angular/slope a, coeficiente linear b).
  • Existem dois pontos com abscissas x_{1} e x_{2} e supõe-se x_{2}>x_{1}.
  • Cada alternativa estabelece uma implicação lógica sobre crescimento/decrescimento e compara valores em x_{1},x_{2} ou expressões envolvendo a,b.

Passo 2

Entender o que significa “função crescente” e “função decrescente” para uma função afim.
Definições:
  • Dizemos que f é crescente se, para quaisquer x_{1},x_{2} com x_{2}>x_{1}, vale f(x_{2})>f(x_{1}).
  • Dizemos que f é decrescente se, para quaisquer x_{1},x_{2} com x_{2}>x_{1}, vale f(x_{2})<f(x_{1}).
Para a função afim f(x)=a x+b, o comportamento depende exclusivamente do coeficiente a (a inclinação da reta):
  • Se a>0 então f é crescente.
  • Se a<0 então f é decrescente.
  • Se a=0 a função é constante (nem crescente nem decrescente no sentido estrito).
Vou explicar por que: para quaisquer x_{1}<x_{2},
f(x_{2})-f(x_{1}) = a x_{2}+b - (a x_{1}+b) = a(x_{2}-x_{1}).
Como x_{2}-x_{1}>0, o sinal de f(x_{2})-f(x_{1}) é o mesmo que o sinal de a. Portanto o sinal de a determina crescimento/decrescimento.

Passo 3

Regra importante sobre multiplicar desigualdades por números:
  • Se u>v e multiplicar ambos os lados por um número positivo c>0, a desigualdade mantém o sentido: c u > c v.
  • Se multiplicar por um número negativo c<0, o sentido da desigualdade se inverte: c u < c v.
Isto será usado ao comparar a x_{2} e a x_{1} quando sabemos o sinal de a.

Passo 4

Análise da alternativa (a).
A alternativa (a) afirma: “A função é decrescente para (x_{2}>x_{1}\Rightarrow f(x_{2})>f(x_{1})”."
Pelo que vimos, se a função é decrescente então a<0. Para x_{2}>x_{1} vale
f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1}).
Aqui x_{2}-x_{1}>0 e a<0, então a(x_{2}-x_{1})<0. Logo f(x_{2})-f(x_{1})<0, isto é f(x_{2})<f(x_{1}).
A alternativa (a) diz o contrário ( f(x_{2})>f(x_{1})). Portanto (a) é falsa.
Exemplo numérico rápido (para intuir): tome f(x)=-2x+1 (decrescente), x_{1}=0, x_{2}=1. Então f(0)=1, f(1)=-1. De fato f(1)<f(0), não >.)

Passo 5

Análise da alternativa (b).
A alternativa (b) afirma: “A função é crescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow a x_{2}<a x_{1}.”
Se a função é crescente então a>0. Como x_{2}>x_{1} e a>0, multiplicando a desigualdade x_{2}>x_{1} por a>0 mantém o sentido:
a x_{2}>a x_{1}.
Portanto a conclusão correta seria a x_{2}>a x_{1}, não a x_{2}<a x_{1}. A alternativa (b) inverte o sinal e é falsa.
Exemplo numérico: f(x)=2x, x_{1}=1,x_{2}=3. Então a x_{1}=2, a x_{2}=6 e 6>2, não <.

Passo 6

Análise da alternativa (c).
A alternativa (c) afirma: “A função é decrescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow a x_{2}>a x_{1}.”
Se a função é decrescente então a<0. Com x_{2}>x_{1} e multiplicando por a<0, o sentido da desigualdade inverte:
a x_{2}<a x_{1}.
Logo a afirmação correta em termos de a x_{2} e a x_{1} é a x_{2}<a x_{1}, não >. Portanto (c) também é falsa.
Exemplo numérico: f(x)=-3x, x_{1}=1,x_{2}=2. Então a x_{1}=-3, a x_{2}=-6 e -6< -3, não >.

Passo 7

Análise da alternativa (d).
A alternativa (d) afirma: “A função é crescente para x_{2}>x_{1}\Rightarrow a x_{2}+b<a x_{1}+b.”
Se a função é crescente então a>0. Para x_{2}>x_{1} temos, como já mostrado,
f(x_{2})-f(x_{1})=a(x_{2}-x_{1})>0,
logo f(x_{2})>f(x_{1}), isto é a x_{2}+b > a x_{1}+b. A alternativa (d) afirma a desigualdade invertida ( <), por isso é falsa.
Exemplo numérico: f(x)=x (crescente), x_{1}=0,x_{2}=1. f(0)=0,f(1)=1, e 1>0, não <.

Passo 8

Resumo e conclusão lógica.
Das quatro alternativas:
  • (a) falsa (signo invertido para decrescente),
  • (b) falsa (signo invertido para crescente),
  • (c) falsa (signo invertido ao multiplicar por negativo),
  • (d) falsa (signo invertido para crescente).
Portanto nenhuma das alternativas apresentadas está correta.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta.

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